Що таке раціональні функції?

Функцiї з x у знаменнику називають рацiональними функцiями. Вони мають дробову форму i мають асимптоти. Асимптоти — це невидимi лiнiї в системi координат, до яких рухається графiк, але яких нiколи не досягає. Графiки рацiональних функцiй можуть мати вигляд, як на рисунку нижче.

Теорiя

Рацiональна функцiя

Рацiональна функцiя виражається в такому виглядi:

f(x) = g(x) h(x),

де g(x) i h(x) — многочлени.

Графiки рацiональних функцiй f(x), g(x) i h(x), побудованих у однiй системi координат

На рисунку вище зображено графiки таких функцiй:

f(x) = 1 xg(x) = 2x x + 1h(x) = x2 + 6x 3 x5 + x3 1

Гiперболи належать до найпростiших рацiональних функцiй. Гiпербола – це зв’язок мiж двома лiнiйними функцiями, ax + b i cx + d.

Теорiя

Гiперболи

Гiпербола є важливою рацiональною функцiєю, що демонструє зв’язок мiж двома лiнiйними функцiями. Формула гiперболи:

f(x) = ax + b cx + d.

Гiпербола з вiдповiдними горизонтальною та вертикальною асимптотами, показаними пунктиром

Гiпербола має вертикальну i горизонтальну асимптоти (пунктирнi лiнiї).

Формула

Асимптоти гiперболи

Вертикальнi асимптоти

знаходимо, якщо знаменник дорiвнює нулю. Можна скористатися формулою:

x = d c.

Горизонтальна асимптота

— це значення, до якого прямує графiк, якщо x ±. Можна скористатися формулою:

y = a c.

Приклад 1

Функцiя гiперболи задається у виглядi

f(x) = 2x + 2 x 1 .

Знайди асимптоти i точку перетину мiж графiком i осями.

Загальна формула гiперболи:

f(x) = ax + b cx + d.

У цьому завданнi a = 2, b = 2, c = 1 i d = 1.

Знаходимо вертикальну асимптоту:

x = d c = (1) 1 = 1.

Вертикальна асимптота x = 1.

Знаходимо горизонтальну асимптоту:

y = a c = 2 1 = 2.

Горизонтальна асимптота y = 2.

Щоб знайти точку перетину з вiссю y, пiдставляємо x = 0, оскiльки координата x дорiвнює 0 вздовж усiєї осi y. Отримуємо

f(0) = 2 0 + 2 0 1 = 2 1 = 2.

Гiпербола перетинає вiсь y у точцi (0,2).

Щоб знайти точку перетину з вiссю x, пiдставляємо f(x) = 0, оскiльки координата y дорiвнює 0 вздовж усiєї осi x. Отримуємо

f(x) = 2x + 2 x 1 = 0.

Достатньо встановити чисельник рiвним нулю, оскiльки дрiб дорiвнює нулю, поки чисельник дорiвнює нулю. Тодi отримуємо

2x + 2 = 0 2x = 2| : 2 x = 1

Гiпербола перетинає вiсь x у точцi (1, 0).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!