Що таке стаціонарні точки функції?

Часто потрiбно з’ясувати, в яких точках графiк перебуває на найвищому (максимум) або найнижчому (мiнiмум) рiвнi. Цi точки також називають екстремумами графiка. Iснує третiй тип точок: сiдловi точки. Сiдлова точка — це точка, в якiй графiк не зростає i не спадає (перша похiдна дорiвнює 0), але яка не є нi максимумом, нi мiнiмумом. Збiрна назва точок, у яких перша похiдна дорiвнює 0 — стацiонарнi точки.

Дiаграма знакiв функцiї $f^{'} (x)$ демонструє, в якiй точцi графiк $f (x)$ зростає або спадає. Вона також показує на графiку стацiонарнi точки. Крiм того, з дiаграми знакiв ми дiзнаємося, в якiй точцi похiдна $f^{'} (x)$ функцiї знаходиться вище або нижче осi $x$ . Знаходимо цi точки так:

Правило

Визначення стацiонарних точок

Максимуми функцiї — це точки, в яких графiк переходить вiд зростання до спадання.
Мiнiмуми функцiї — це точки, в яких графiк переходить вiд спадання до зростання.
Сiдловi точки функцiї — це точки, в яких графiк переходить вiд зростання до стабiлiзацiї, а потiм знову зростає, або в яких вiн переходить вiд спадання до стабiлiзацiї, а потiм продовжує спадати.

Уважно розглянь рисунок. На ньому видно зв’язок мiж $f (x)$ , $f^{'} (x)$ i дiаграмою знакiв для обох функцiй. Дiаграма знакiв — це корисний iнструмент, який допомагає знайти стацiонарнi точки функцiї $f (x)$ .

Графiки функцiй f(x) i f’(x) зi стацiонарними точками i дiаграмою знакiв

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow f$ зростає
$f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow f$ спадає
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f$ стабiлiзується

За допомогою дiаграми знакiв можна знайти рiзнi властивостi функцiй.

Приклад 1

Знайди стацiонарнi точки

f (x) = x^{2} + 5 x + 6

Щоб знайти цi точки, розв’язуємо рiвняння $f^{'} (x) = 0$ . У цей спосiб знаходимо $f^{'} (x)$ i задаємо її рiвною 0:

\begin{array}{l} f^{'} (x) = 2 x + 5 & = 0 \\ 2 x & = - 5 | : 2 \\ x & = - \frac{5}{2} \end{array}

Щоб знайти значення $y$ , пiдставляємо $x = - \frac{5}{2}$ в основну функцiю $f (x)$ :

f (- \frac{5}{2}) = {(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 6 = - \frac{1}{4} .

Отже, маємо стацiонарну точку $(- \frac{5}{2}, - \frac{1}{4})$ . Тепер потрiбно з’ясувати, максимум це, мiнiмум чи сiдлова точка. Пiд час роботи з квадратичними функцiями ( $a x^{2} + b x + c$ ) вiдповiдь легко знайти, перевiривши значення $a$ у функцiї. У $f (x) = x^{2} + 5 x + 6$ маємо $a = 1 > 0$ , а отже, графiк нагадує усмiхнене обличчя, а наша точка — це мiнiмум.

Приклад 2

Знайди нулi i стацiонарну точку функцiї $f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x$ . Крiм того, знайди дiлянки, на яких функцiя зростає i спадає.

Нулi

Нулi знаходимо, якщо $f (x) = 0$ :

x^{3} + x^{2} - 2 x = x (x^{2} + x - 2) = 0

Розклади на множники квадратичний многочлен за допомогою квадратичної формули або шляхом перевiрки:

x (x + 2) (x - 1) = 0

Застосовуємо властивiсть нульового добутку i з’ясовуємо, що

\begin{array}{l} x & = 0 \\ x + 2 & = 0 \Rightarrow x = - 2 \\ x - 1 & = 0 \Rightarrow x = 1 \end{array}

Тодi з’ясовуємо, що нулями є точки $(- 2, 0)$ , $(0, 0)$ i $(1, 0)$ .

Стацiонарнi точки

Щоб знайти стацiонарнi точки, розв’язуємо рiвняння

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2 = 0 .

Застосовуємо квадратичну формулу i отримуємо:

\begin{array}{l} x & = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{6} \\ = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{6} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{7}}{3} \end{array}

Отже, $x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{7}}{3} \approx 0.55$ , а $x = \frac{- 1 - \sqrt{7}}{3} \approx - 1.22$ . Щоб знайти вiдповiднi значення $y$ , пiдставляємо значення $x$ у основну функцiю $f (x)$ . Отримуємо

\begin{array}{l} f (0.55) & = {(0.55)}^{3} + {(0.55)}^{2} - 2 (0.55) \\ = - 0.63 \\ f (- 1.22) & = {(- 1.22)}^{3} + {(- 1.22)}^{2} - 2 (- 1.22) \\ = 2.11 \end{array}

Отже, стацiонарними є точки $(0.55, - 0.63)$ i $(- 1.22, 2.11)$ . Щоб визначити, до якого типу належать цi стацiонарнi точки, потрiбно знайти значення похiдної до, пiсля та мiж стацiонарними точками. Для цього потрiбно побудувати дiаграму знакiв для розкладеного на множники виразу $3 (x - 0.55) (x + 1.22)$ . Вона матиме такий вигляд:

Sign chart for determining stationary points

На рисунку бачимо, що

$f (x)$ спадає в iнтервалi $(- 1.22, 0.55)$ ,
$f (x)$ зростає в iнтервалах $(- \infty, - 1.22) \cup (0.55, \infty)$ .

Отже, ми з’ясували, що

(- 1.22, 2.11)

— це максимум, а

(0.55, - 0.63)

— мiнiмум.

Зверни увагу! Ми не можемо визначити, чи маємо максимум чи мiнiмум, на основi самих лише значень $y$ , кажучи, що найбiльше значення є максимумом, а найменше — мiнiмумом. Це пов’язано з тим, що значення $y$ не вказують, як повязанi мiж собою точки. Ми маємо стацiонарнi точки, в яких функцiя не зростає i не спадає. Див. рисунок нижче.

Приклад функцiй з багатьма максимумами та мiнiмумами

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Як обчислити кривину функції

Повернутися