Як розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння

Почнемо з перетворення рiвняння, щоб отримати член iз $\cos$ сам по один бiк рiвностi:

$$\begin{array}{llll}\hfill 4\cos \left(\pi x+\frac{2\pi }{3}\right)& =2,& \hfill & \\ \hfill \cos \left(\pi x+\frac{2\pi }{3}\right)& =\frac{1}{2}.& \hfill & \end{array}$$

Його розв’язками є

$$\begin{array}{lll}\hfill \pi x_1+\frac{2\pi }{3}& =\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi ,& \hfill \text{(1)}\\ \hfill \pi x_2+\frac{2\pi }{3}& =-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi .& \hfill \text{(2)}\end{array}$$

Спочатку використаємо (1):

$$\begin{array}{llll}\hfill \pi x_1+\frac{2\pi }{3}& =\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill \pi x_1& =-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill x_1& =-\frac{1}{3}+2n& \hfill & \end{array}$$

Потiм перейдемо до (2):

$$\begin{array}{llll}\hfill \pi x_2+\frac{2\pi }{3}& =-\frac{\pi }{3}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill \pi x_2& =-\pi +n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill x_2& =-1+2n& \hfill & \end{array}$$

У завданнi потрiбно знайти всi розв’язки, що знаходяться в iнтервалi $x\in \left(0,2\pi \right)$. Обчислимо їх, розглядаючи $x_1$ та $x_2$ щодо цього iнтервалу..

Спершу погляньмо на $x_1=-\frac{1}{3}+2n$. Якщо пiдставимо $n=1$, то отримаємо

$$x_1=-\frac{1}{3}+2\cdot 1=\frac{5}{3},$$

що знаходиться в межах iнтервалу. Перевiривши $n=2$, отримаємо

$$x_1=-\frac{1}{3}+2\cdot 2=\frac{11}{3}\in \left(0,2\pi \right).$$

Потiм перевiримо $n=3$,

$$x_1=-\frac{1}{3}+2\cdot 3=\frac{17}{3},$$

що також знаходиться в межах iнтервалу. Ти помiтив/ помiтила, що якщо перевiримо $n=4$, вiдповiдь буде поза iнтервалом $\left(0,2\pi \approx 6.28\right)$. Це означає, що ми знайшли всi розв’язки для $x_1$.

Тепер треба зробити те саме для $x_2=-1+2n$. Щоб значення були частиною розв’язку, вони, як i ранiше, мають бути в межах iнтервалу. Отримаємо

$$\begin{array}{llll}\hfill n=1\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 1=1\in \left(0,2\pi \right)& \hfill & \\ \hfill n=2\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 2=3\in \left(0,2\pi \right)& \hfill & \\ \hfill n=3\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 3=5\in \left(0,2\pi \right)& \hfill & \\ \hfill n=4\Rightarrow x_2& =-1+2\cdot 4=7\notin \left(0,2\pi \right)& \hfill & \end{array}$$

Як бачимо, останнє значення знаходиться поза iнтервалом. Це означає, що розв’язками в iнтервалi $\left(0,2\pi \right)$ є:

$$x\in \left\{1,\frac{5}{3},3,\frac{11}{3},5,\frac{17}{3}\right\}.$$

Найпростiше рiвняння

$$\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$$

має розв’язки

$$\begin{array}{lll}\hfill 2x_1-\frac{\pi }{3}& ={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n\cdot 2\pi ,& \hfill \text{(3)}\\ \hfill 2x_2-\frac{\pi }{3}& =\pi -{\sin }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n\cdot 2\pi .& \hfill \text{(4)}\end{array}$$

Спочатку продовжимо працювати з (3):

$$\begin{array}{llll}\hfill 2x_1-\frac{\pi }{3}& =\frac{\pi }{6}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill 2x_1& =\frac{\pi }{2}+n\cdot 2\pi |:2& \hfill & \\ \hfill x_1& =\frac{\pi }{4}+n\cdot \pi & \hfill & \end{array}$$

Пiсля цього перейдемо до (4):

$$\begin{array}{llll}\hfill 2x_2-\frac{\pi }{3}& =\pi -\frac{\pi }{6}+n\cdot 2\pi & \hfill & \\ \hfill 2x_2& =\frac{7\pi }{6}+n\cdot 2\pi |:2& \hfill & \\ \hfill x& =\frac{7\pi }{12}+n\cdot \pi & \hfill & \end{array}$$

Тепер потрiбно знайти розв’язки з $x_1$ та $x_2$. Значення мають знаходитися в iнтервалi $x\in \left[0,2\pi \right)$, щоб вони були одним iз розв’язкiв. Для $x_1=\frac{\pi }{4}+2\pi$ маємо

$$\begin{array}{llll}\hfill n=0\Rightarrow x_1& =\frac{\pi }{4}+0=\frac{\pi }{4},& \hfill & \\ \hfill n=1\Rightarrow x_1& =\frac{\pi }{4}+1\pi =\frac{5\pi }{4},& \hfill & \\ \hfill n=2\Rightarrow x_1& =\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{9\pi }{4},& \hfill & \end{array}$$

де $\frac{9\pi }{4}$ знаходиться поза iнтервалом. Перевiривши $x_2=\frac{7\pi }{12}+n\pi$, отримаємо

$$\begin{array}{llll}\hfill n=0\Rightarrow x_2& =\frac{7\pi }{12}+0=\frac{7\pi }{12},& \hfill & \\ \hfill n=1\Rightarrow x_2& =\frac{7\pi }{12}+1\pi =\frac{19\pi }{12},& \hfill & \\ \hfill n=2\Rightarrow x_2& =\frac{7\pi }{12}+2\pi =\frac{31\pi }{12},& \hfill & \end{array}$$

де $\frac{31\pi }{12}$ знаходиться поза iнтервалом. Це означає, що розв’язками в iнтервалi $\left[0,2\pi \right)$ є:

$$x\in \left\{\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12},\frac{5\pi }{4},\frac{19\pi }{12}\right\}.$$

Розв’яжемо тригонометричне рiвняння вiдносно $x$:

Розв’язком рiвняння є $x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{n\pi }{3}$ для будь-якого $n\in \mathbb{Z}$. Оскiльки в цьому прикладi $x$ може бути будь-яким дiйсним числом ($x\in ℝ$), немає певного iнтервалу, в якому потрiбно перевiряти значення $n$. Це означає, що розв’язок загальний.