Для чого призначені таблиці спряженості?

Таблицю спряженостi можна використовувати для впорядкування iнформацiї. Таблиця спряженостi дає уявлення про те, скiльки одиниць щонайменше двох рiзних предметiв ти маєш одночасно. Усе, що можна впорядкувати у виглядi таблицi спряженостi, також можна представити у виглядi дiаграми Венна, i часто можна обирати мiж цими двома варiантами. Поглянь на таблицю нижче:

Таблиця спряженостi хлопчикiв i дiвчаток залежно вiд того, що полюбляють вони батончики Снiкерс

Прочитавши iнформацiю в таблицi, дiзнаємось таке:

Ми запитали хлопчикiв i дiвчаток, чи полюбляють вони батончики «Снiкерс». Вони вiдповiли, що полюбляють «Снiкерс» або нi.

43 хлопчики полюбляють «Снiкерс», а 8 — нi. 30 дiвчаток полюбляють «Снiкерс», а 19 — нi.

Загалом 73 хлопчикiв i дiвчаток полюбляють батончики «Снiкерс», а 27 — нi.

Загалом було опитано 100 осiб: 51 хлопчик i 49 дiвчаток. Кiлькiсть опитаних дiвчаток i хлопчикiв приблизно однакова.

У таблицi окремо наводяться вiдповiдi хлопчикiв i дiвчаток. Завдяки цьому видно, чи є рiзниця мiж тим, скiльки дiвчаток полюбляють «Снiкерс» i скiльки хлопчикiв. Якби ми не навели окремо вiдповiдi хлопчикiв i дiвчаток, то не змогли б цього побачити.

Це означає, що завдяки цьому роздiленню та складанню таблицi спряженостi ми отримали бiльше iнформацiї. Згiдно з таблицею хлопчики, схоже, бiльше полюбляють батончики «Снiкерс», нiж дiвчатка.

Помiркуй

Чи можна бути стовiдсотково впевненим у тому, що хлопчики полюбляють «Снiкерс» бiльше, нiж дiвчатка, з цiєї таблицi?

Нi, не можна. Причина полягає в тому, що перш нiж ти зможеш з упевненiстю говорити про подiбнi питання, тобi доведеться опитати силу-силенну людей. Отримати належне враження про те, хто бiльше полюбляє «Снiкерс», можна лише опитавши щонайменше 1000 людей.

Крiм того, треба опитати однакову кiлькiсть хлопчикiв та дiвчаток. Опитати 900 хлопчикiв i 100 дiвчаток недостатньо, щоб бути впевненим.

Таблиця спряженостi — це таблиця, в якiй показано розподiл елементiв у рiзних групах. Таблицi цього типу легко читати та складати, якщо вмiєш це робити.

Теорiя

Таблиця спряженостi

Таблиця спряженостi дає гарне уявлення про ймовiрностi та данi складних експериментiв. Таблицю просто читати та вилучати з неї iнформацiю для подальших розрахункiв. Крiм того, таблицi спряженостi кориснi, якщо ти маєш частковi данi. Вiдсутнi данi в цьому випадку можна отримати на основi значень, уже наявних у таблицi спряженостi.

У таблицi спряженостi нижче видно, скiльки хлопчикiв та дiвчаток займаються лижним спортом, а скiльки — нi. У рядку, позначеному «сума», показано загальну кiлькiсть хлопчикiв (70) та дiвчаток (95), якi взяли участь у опитуваннi.

Комiрка у нижньому правому кутку мiстить точну кiлькiсть учасникiв ( $70 + 95 = 165$ ). Ми додали значення за горизонталлю. У стовпцi, позначеному «сума», зверху показано, скiльки учасникiв займаються лижним спортом (146), а скiльки — нi (19). Якщо додати цi значення за вертикаллю, теж вийде 165.

У стовпцi, позначеному «Хлопчики», бачимо, що 55 хлопчикiв займаються лижним спортом, а 15 — нi. У сумi виходить $55 + 15 = 70$ хлопчикiв. У стовпцi, позначеному «Дiвчатка», бачимо, що 91 дiвчинка займається лижним спортом, а 4 — нi. У сумi виходить $91 + 4 = 95$ дiвчаток.

Таблиця спряженостi хлопчикiв та дiвчаток залежно вiд того, чи займаються вони лижним спортом

Приклад 1

Таблиця спряженостi

Iмовiрнiсть того, що народиться дiвчинка, складає $0.486$ , а того, що народиться хлопчик — $0.514$ . Iмовiрнiсть того, що новонароджений матиме дальтонiзм, складає $0.044$ . Склади таблицю спряженостi, в якiй вiдображатимуться ймовiрностi народження хлопчика чи дiвчинки з дальтонiзмом або без нього.

З тексту бачимо, що подiями є стать i дальтонiзм. Отримуємо такi можливостi:

Подiя щодо статi новонародженої дитини має лише два можливих результати: хлопчик або дiвчинка. Назвемо результат, за яким народився хлопчик, $Y$ , а результат, за яким народилася дiвчинка, — $\overset{}{Y}$
Подiя щодо наявностi або вiдсутностi в дитини дальтонiзму також має лише два можливих результати: з дальтонiзмом або без дальтонiзму. Назвемо результат, за яким дитина має дальтонiзм, $C$ , а результат, за яким дальтонiзму немає, — $\overset{}{C}$

Ти вже знаєш iмовiрнiсть того, що народиться хлопчик або дiвчинка, але досi знаєш лише ймовiрнiсть того, що дитина народиться з дальтонiзмом. Це означає, що потрiбно з’ясувати ймовiрнiсть вiдсутностi дальтонiзму. Наявнiсть та вiдсутнiсть дальтонiзму — це взаємодоповнювальнi подiї, тож отримуємо

P (\overset{}{C}) + P (C) = 1 .

Знаходимо ймовiрнiсть:

\begin{array}{l} P (\overset{}{C}) + 0.044 & = 1 \\ P (\overset{}{C}) & = 1 - 0.044 \\ = 0.956 \end{array}

Поки що таблицю спряженостi можна заповнити так:

	$Y$	$\overset{}{Y}$	Сума

$\overset{}{C}$	?	?	$0.956$
$C$	?	?	$0.044$

Сума	$0.514$	$0.486$	1

Тепер потрiбно лише знайти значення, якi можна пiдставити замiсть знакiв питання. Оскiльки в нас двi подiї трапляються разом, то маємо випадок з багатократними випробуваннями i використовуємо ланцюгове правило.

Потрiбно виконати такi розрахунки:

\begin{array}{l} P (\overset{}{C} ∣ Y) & = 0.514 \cdot 0.956 \\ = 0.491 \\ P (\overset{}{C} ∣ \overset{}{Y}) & = 0.486 \cdot 0.956 \\ = 0.465 \\ P (C ∣ Y) & = 0.514 \cdot 0.044 \\ = 0.023 \\ P (C ∣ \overset{}{Y}) & = 0.486 \cdot 0.044 \\ = 0.021 \end{array}

Цi числа можна пiдставити замiсть знакiв питання в таблицi спряженостi. Таблиця матиме такий вигляд:

	Хлопчик	Дiвчинка	Сума

Без дальтонiзму	$0.491$	$0.465$	$0.956$
З дальтонiзмом	$0.023$	$0.021$	$0.044$

Сума	$0.514$	$0.486$	1

Тепер за допомогою таблицi спряженостi можна визначити ймовiрностi того, що народиться хлопчик або дiвчинка, з дальтонiзмом або без дальтонiзму.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

У чому полягає правило додавання ймовірностей?

Наступна стаття

Що таке діаграми Венна в математиці?

Повернутися