Functions

Меню

1

Що таке функції в математиці?

2

Яке значення функцій у реальному житті?

3

Як визначається функція?

4

Що таке система координат?

5

Що таке таблиці функцій?

6

Знаходження значень x та y функції

7

Обчислення області визначення та області значень у математиці

8

Як обчислити та інтерпретувати точки перетину

9

Обчислення нулів або коренів функції

10

Що таке лінійна функція?

11

Як лінійні функції використовуються в реальному житті?

12

Що робить функцію пропорційною?

13

Що таке квадратичні функції?

14

Що таке поліноміальні функції?

15

Що таке показникові функції?

16

Показникові функції з числом Ейлера

17

Що означає обернено пропорційний у математиці?

18

Що таке степеневі функції та функції квадратного кореня?

19

Що таке логарифмічні функції?

20

Що таке раціональні функції?

21

Обчислення та інтерпретація середньої швидкості зміни в математиці

22

Що таке рівняння прямої, яка проходить через задану точку?

23

Інтерпретація та знаходження миттєвої швидкості зміни в математиці

24

Як апроксимувати миттєву швидкість зміни в математиці

25

Як інтерпретувати та обчислювати границі функції

26

Як визначити неперервність функції?

27

Як інтерпретувати та обчислювати асимптоти функції

28

Що означає визначення похідної?

29

Як визначити, чи є функція диференційовною?

30

Правила диференціювання для знаходження похідних

31

Як працює ланцюгове правило диференціювання?

32

Як знайти похідні за допомогою правила добутку

33

Як диференціювати функції за допомогою правила частки

34

Складання діаграм знаків похідних функції

35

Диференціювання відстані для отримання швидкості та прискорення

Похiдна розкриває новий зв’язок мiж вiдстанню $s (t)$ , швидкiстю $v (t)$ та прискоренням $a (t)$ . Шляхом диференцiювання можна знайти вираз для знаходження швидкостi $v (t)$ та прискорення $a (t)$ за вiдстанню $s (t)$ . Зв’язок мiж ними можна описати так:

Правило

Вiдстань, швидкiсть та прискорення

Якщо дано положення (вiдстань) $s (t)$ , то отримуємо

\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t), \\ a (t) & = v^{'} (t) = s^{″} (t) . \end{array}

Приклад 1

Лiтак летить iз Лондона до Нью-Йорка. Положення лiтака над Атлантикою визначається як

s (t) = - 8.27 t^{3} + 111.81 t^{2} + 302.82 t + 400.9,

де $t$ — кiлькiсть годин пiсля вiдправлення, а одиницею вимiрювання $s (t)$ є кiлометри.
1.
Яку вiдстань пролетiв лiтак через чотири години?
2.
Яка швидкiсть лiтака через чотири години?
3.
Знайди прискорення лiтака через чотири години.

1.

Пiдставляємо

t = 4

в

s (t)

:

\begin{array}{l} s (4) & = - 8.27 \cdot 4^{3} + 111.81 \cdot 4^{2} + 302.82 \cdot 4 \\ + 400.9 \\ = 2871.86 \end{array}

\begin{array}{l} s (4) & = - 8.27 \cdot 4^{3} + 111.81 \cdot 4^{2} + 302.82 \cdot 4 + 400.9 \\ = 2871.86 \end{array}

Через чотири години лiтак пролетiв

2871.86

км.

2.

Щоб знайти швидкiсть лiтака через чотири години, потрiбно знайти швидкiсть

v (t)

лiтака. Щоб знайти її, продиференцiюємо

s (t)

:

\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t) \\ = - 24.81 t^{2} + 223.62 t + 302.82 \\ v (4) & = s^{'} (4) \\ = - 24.81 \cdot 4^{2} + 223.62 \cdot 4 + 302.82 \\ = 800.34 \\ \approx 800 \end{array}

Через чотири години швидкiсть лiтака становить $800$ км/год.

3.

Щоб з’ясувати прискорення через чотири години, потрiбно продиференцiювати функцiю швидкостi

v (t)

. Отримуємо

\begin{array}{l} a (t) & = v^{'} (t) \\ = s^{″} (t) \\ = - 49.62 t + 223.62, \\ a (4) & = v^{'} (4) \\ = s^{″} (4) \\ = - 49.62 \cdot 4 + 223.62 \\ = 25.14 . \end{array}

Через чотири години прискорення лiтака становить $25.14$ км/год². Це свiдчить про те, що лiтак прискорився через чотири години польоту.

Готово

Продовжити

36

Що таке стаціонарні точки функції?

37

Як обчислити кривину функції

38

Що таке точки перегину функції?

39

Як аналізувати поліноміальні функції

40

Як аналізувати логарифмічні функції

41

Як аналізувати степеневі функції

42

Як аналізувати функцію косинуса

43

Аналіз показникових функцій

44

Для чого використовуються суми Рімана?

45

Які є важливі правила інтегрування?

46

Які основні співвідношення в інтегруванні потрібно знати?

47

Як інтерпретувати й обчислювати визначений інтеграл

48

Як інтерпретувати й обчислювати невизначений інтеграл

49

Як використовувати формулу інтегрування частинами

50

Як виконувати інтегрування методом підстановки

51

Інтегрування методом розкладання на прості дроби

52

Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування

53

Як використовувати тіла обертання для знаходження об’ємів

54

Що таке диференціальне рівняння?

55

Для чого використовуються інтегральні криві та поля напрямків?

56

Для чого використовуються диференціальні рівняння?

57

Що таке диференціальні рівняння першого порядку?

58

Диференціальні рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами

59

Диференціальні рівняння першого порядку з початковими умовами

60

Як розв’язувати точні диференціальні рівняння першого порядку

61

Як записувати та розв’язувати диференціальні рівняння з відокремленими змінними

62

Розв'язування диференціальних рівнянь методом інтегрувального множника

63

Логістичне зростання та ємність середовища

64

Що таке диференціальні рівняння другого порядку?

65

Як розв’язувати точні диференціальні рівняння другого порядку

66

Однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

67

Диференціальні рівняння другого порядку з початковими умовами

68

Перевірка розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку

69

Знаходження рівняння дотичної функції

70

Диференціальне рівняння для гармонічних осциляторів

71

Метод знижування порядку диференціальних рівнянь

72

Що означає математичне моделювання?

73

Що таке математична регресія?

74

Різниця між інтерполяцією та екстраполяцією

75

Що таке лінійні моделі?

76

Що таке квадратичні моделі?

77

Що таке експоненціальна модель?

78

Що таке степеневі моделі в математиці?

79

Для чого використовуються логістичні моделі?

80

Що таке кубічні моделі в математиці?

81

Що таке тригонометричні моделі?

82

Що означає допустимий регіон під час оптимізації?

83

Як застосовувати графічний метод для лінійної оптимізації

84

Як застосовувати метод лінійки для лінійної оптимізації