House of Math

1.: Склади нерiвностi на основi завдання. Оскiльки йдеться про кiлькiсть одиниць, природно сказати, що $x \geq 0$ i $y \geq 0$ , тому що неможливо отримати вiд’ємну кiлькiсть одиниць.
2.: Розв’яжи нерiвностi для $y$ , щоб вони отримали вигляд функцiй $y (x)$ .
3.: Побудуй графiки цих функцiй у системi координат. Через те, що $x \geq 0$ i $y \geq 0$ , потрiбно враховувати лише перший квадрант.
4.: Познач область, оточену графiками!
5.: Назви кути областi $A$ , $B$ i так далi.
6.: Знайди координати точок $A$ , $B$ i так далi.
7.: Введи координати $A$ , $B$ i так далi в цiльову функцiю (див. нижче) i з’ясуй, яка точка дає найбiльше значення. Це оптимальна точка.

Теорiя

Цiльова функцiя

Цiльова функцiя часто є функцiєю прибутку або доходу, що визначається $A$ , яка є вартiстю товару, $x$ одиниць якого було продано, i $B$ , вартiстю товару, $y$ одиниць якого було продано.

Z (x, y) = A x + B y,

Приклад 1

Фабрика, що випускає фiрмову продукцiю, виготовлятиме чоловiчi сорочки та спiдницi для дизайнера Тома Форда. Обидва товари вироблятимуться з кашемiру та шовку. На сорочку йде два вiдрiзи кашемiру та один вiдрiз шовку. На спiдницю йде один вiдрiз кашемiру та три вiдрiзи шовку. На фабрицi є 200 вiдрiзiв кашемiру та 300 вiдрiзiв шовку. Сорочка коштує $$ 295$ , а спiдниця — $$ 450$ . Скiльки спiдниць i чоловiчих сорочок потрiбно виробити, щоб збiльшити дохiд фабрики, i яким буде цей дохiд?

Пункт 1

Спершу задаємо обмеження в текстi завдання у виглядi нерiвностей. Нехай $x$ — це кiлькiсть вироблених чоловiчих сорочок, а $y$ — кiлькiсть вироблених спiдниць. Кашемiр та шовк потрiбно розподiлити мiж сорочками та спiдницями. Отримуємо такi нерiвностi:

Кiлькiсть сорочок, якi ми виробляємо, може становити 0 сорочок i бiльше. Отже,
$x \geq 0 .$
Кiлькiсть спiдниць, якi ми виробляємо, може становити 0 спiдниць i бiльше. Отже,
$y \geq 0 .$
Тепер складаємо нерiвнiсть для наявного кашемiру. На сорочку йде два вiдрiзи, а на спiдницю — один. Один рулон загалом вмiщує $200$ вiдрiзiв. Отримуємо
$2 x + y \leq 200 .$
Потiм складаємо нерiвнiсть для наявного шовку. На сорочку йде один вiдрiз, а на спiдницю — три. Один рулон вмiщує $300$ вiдрiзiв шовку. Отримуємо
$x + 3 y \leq 300 .$

У кiнцевому пiдсумку маємо систему нерiвностей:

\begin{align} x & \geq 0 & (1) \\ y & \geq 0 & (2) \\ 2 x + y & \leq 200 & (3) \\ x + 3 y & \leq 300 & (4) \end{align}

Пункт 2

Тепер потрiбно розв’язати нерiвностi щодо $y$ . Спочатку розв’язуємо нерiвнiсть (3):

\begin{array}{l} 2 x + y & \leq 200 \\ y & \leq 200 - 2 x \end{array}

Нерiвнiсть (4):

\begin{array}{l} x + 3 y & \leq 300 \\ 3 y & \leq 300 - x | : 3 \\ y & \leq 100 - \frac{1}{3} x \end{array}

З iншими двома нерiвностями нiчого робити не потрiбно.

Пункт 3 i 4

Зобразимо двi нерiвностi у виглядi графiкiв у системi координат i позначимо область, у якiй вони перетинаються. Як вiдомо, нас цiкавить лише перший квадрант, оскiльки i $x$ , i $y$ бiльшi або дорiвнюють 0. Отримуємо таку фiгуру:

Приклад лiнiйної оптимiзацiї методом пiдстановки

Пункт 5 i 6

Знаходимо для цiєї фiгури оптимальну точку. Як ми знаємо, це одна з точок у межах позначеної областi, в якiй графiки перетинаються мiж собою або перетинають осi. Якщо використовується метод пiдстановки, потрiбно знайти всi точки перетину. Як бачимо з графiка,

Точка $A$ — це точка, в якiй $x + 3 y = 300$ перетинає вiсь $y$ . Тут $x = 0$ . Отримуємо
$\begin{array}{l} 0 + 3 y & = 300 \\ 3 y & = 300 \\ y & = 100 . \end{array}$
Це точка $A = (0, 100)$ , яка вiдповiдає виробництву $0$ сорочок i $100$ спiдниць.
Точка $B$ — це точка, в якiй $x + 3 y = 300$ перетинає $2 x + y = 200$ . Так отримуємо систему рiвнянь, якi потрiбно розв’язати. Ранiше ми переписали нерiвностi (3) i (4), щоб перенести $y$ лiворуч. Якщо натомiсть розглянути їх як рiвняння, то отримаємо ту саму вiдповiдь, лише замiнимо $\leq$ на знак рiвностi. А отже, отримуємо
$\begin{array}{l} y & = 200 - 2 x \\ y & = 100 - \frac{1}{3} x . \end{array}$
Тепер можна задати вирази для $y$ рiвними один одному i отримати
$\begin{array}{l} 200 - 2 x & = 100 - \frac{1}{3} x \\ 200 - 100 & = 2 x - \frac{1}{3} x \\ 100 & = 2 x - \frac{1}{3} x & | \cdot 3 \\ 300 & = 6 x - x \\ 300 & = 5 x & | : 5 \\ 60 & = x . \end{array}$
Пiдставляємо це значення у $y = 200 - 2 x$ , оскiльки це найпростiший вираз. Отримуємо
$y = 200 - 2 \cdot 60 = 200 - 120 = 80 .$

Це дає нам точку $B = (60, 80)$ , яка вiдповiдає виробництву $60$ сорочок i $80$ спiдниць.
Точка $C$ — це точка, в якiй $2 x + y = 200$ перетинає вiсь $x$ . Тут $y = 0$ . Отримуємо
$\begin{array}{l} 2 x + 0 & = 200 \\ 2 x & = 200 | : 2 \\ x & = 100 . \end{array}$
Це дає нам точку $C = (100, 0)$ , яка вiдповiдає виробництву $100$ сорочок i $0$ спiдниць.
Точка $D = (0, 0)$ вiдповiдає виробництву $0$ сорочок i $0$ спiдниць.

Рiзнi точки вище вiдповiдають рiзним комбiнацiям виробництва сорочок i спiдниць.

Пункт 7

Обчислюємо дохiд фабрики, пiдставивши значення $x$ i $y$ , якi ми знайшли в попередньому пунктi, у функцiю доходу $Z (x, y)$ , i з’ясовуємо, яка точка дає найбiльше значення.

Як вiдомо, чоловiча сорочка коштує $ $295$ , а спiдниця коштує $ $450$ . Пiдставляємо цi значення замiсть $A$ i $B$ у $Z (x, y)$ у формулi $(Z (x, y) = A x + B y)$ ; отримуємо

Z (x, y) = 295 x + 450 y .

Тепер обчислюємо дохiд вiд рiзних варiантiв виробництва:

Дохiд $Z$ для точки $A = (0, 100)$ становить

\begin{array}{l} Z (0, 100) & = 295 \cdot 0 + 450 \cdot 100, \\ = 45 000 . \end{array}

Дохiд $Z$ для точки $B = (60, 80)$ становить

\begin{array}{l} Z (60, 80) & = 295 \cdot 60 + 450 \cdot 80, \\ = 17 700 + 36 000, \\ = 53 700 . \end{array}

Дохiд $Z$ для точки $C = (100, 0)$ становить

\begin{array}{l} Z (100, 0) & = 295 \cdot 100 + 450 \cdot 0, \\ = 29 500 . \end{array}

Дохiд $Z$ для точки $D = (0, 0)$ становить

\begin{array}{l} Z (0, 0) & = 295 \cdot 0 + 450 \cdot 0, \\ = 0 . \end{array}

Це означає, що фабрика заробляє $ $53 700$ , виробляючи $60$ чоловiчих сорочок i $80$ спiдниць. Це оптимальне виробництво, оскiльки iншi обсяги виробництва дали нижчi прибутки.

Готово

Продовжити

Як застосовувати метод лінійки для лінійної оптимізації