House of Math

Як обчислити кривину функції

Кривина функцiї — це властивiсть, яка описує вигин функцiї. Якщо функцiя має максимум, то вигинається вниз, i ми називаємо її угнутою. Якщо ж функцiя має мiнiмум, то її графiк вигинається вгору, i ми називаємо її опуклою.

Щоб знайти кривину графiка, потрiбно поглянути на дiаграму знакiв другої похiдної $f^{″} (x)$ . Загалом маємо таке:

Правило

Кривина графiка

Мiж другою похiдною та кривиною графiка iснує такий зв’язок.

$f^{″} (x) > 0 \Leftrightarrow опукла, \cup$
$f^{″} (x) < 0 \Leftrightarrow угнута, \cap$
$f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow$ точка перегину (ТП), у якiй графiк зростає або спадає найшвидше.

Зверни увагу!

Якщо друга похiдна функцiї додатна, графiк додатний (нагадує усмiхнене обличчя). Якщо друга похiдна функцiї вiд’ємна, графiк вiд’ємний (нагадує сумне обличчя).

Графiк функцiї з позначеними на ньому точкою перегину та кривиною

Приклад 1

Опиши кривину графiка, заданого формулою

f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x

Спочатку двiчi диференцiюємо функцiю:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 3 x^{2} + 2 x - 2, \\ f^{″} (x) & = 6 x + 2 . \end{array}

Пiдставивши $f^{″} (x) = 0$ , отримуємо $6 x + 2 = 0$ , що дає $x = - \frac{1}{3}$ . Це координата $x$ точки перегину. Оскiльки це точка перегину, ми знаємо, що графiк вигинається в один бiк лiворуч вiд точки перегину i в iнший бiк праворуч вiд неї. Отже, для того, щоб з’ясувати, чи є значення додатним чи вiд’ємним, достатньо пiдставити його в $f^{″} (x)$ . Виберемо розумнi значення на кшталт $x = - 10$ i $x = 10$ . Тодi знаходимо

\begin{array}{l} f^{″} (- 10) & = 6 (- 10) + 2 = - 58 \\ f^{″} (10) & = 6 (10) + 2 = 62 \end{array}

Оскiльки $f^{″} (- 10) = - 58 < 0$ , графiк є угнутим у iнтервалi $(- \infty, - \frac{1}{3})$ . Оскiльки $f^{″} (10) = 62 > 0$ , графiк є опуклим у iнтервалi $(- \frac{1}{3}, \infty)$ .

Варто пам’ятати, що $f^{″} (x)$ є похiдною вiд $f^{'} (x)$ , а $f^{″} (x)$ є другою похiдною вiд $f (x)$ . Це означає, що $f^{″} (x)$ i $f^{'} (x)$ пов’язанi одне з одним так само, як пов’язанi $f^{'} (x)$ i $f (x)$ .

Правило

Зв’язок мiж $f (x)$ , $f^{'} (x)$ i $f^{″} (x)$

Маємо суцiльну лiнiю на дiаграмi знакiв, якщо:

1.: $f^{″} (x) > 0$ i якщо $f^{″} (x)$ знаходиться вище осi $x$ $\Leftrightarrow f (x)$ є опуклою.
2.: $f^{'} (x) > 0$ i якщо $f^{'} (x)$ знаходиться вище осi $x$ $\Leftrightarrow f (x)$ зростає.
3.: $f (x) > 0$ i якщо $f (x)$ знаходиться вище осi $x$ $\Leftrightarrow f (x)$ є додатною.

Маємо пунктирну лiнiю, якщо:

1.: $f^{″} (x) < 0$ i якщо $f^{″} (x)$ знаходиться нижче осi $x$ $\Leftrightarrow f (x)$ є угнутою.
2.: $f^{'} (x) < 0$ i якщо $f^{'} (x)$ знаходиться нижче осi $x$ $\Leftrightarrow f (x)$ спадає.
3.: $f (x) < 0$ i якщо $f (x)$ знаходиться нижче осi $x$ $\Leftrightarrow f (x)$ є вiд’ємною.