Додавання та віднімання (різні знаменники)

Щоб додати або вiдняти дроби з рiзними знаменниками, потрiбно розширити або спростити дроби так, щоб вони мали однаковi знаменники. Розширення дробу означає множення чисельника та знаменника на те саме число. Спрощення означає дiлення чисельника та знаменника на те саме число. Значення дробу в цьому випадку не змiнюється. Розширення або спрощення дробiв, щоб отримати однаковi знаменники, називається зведенням до спiльного знаменника.

Правило

Зведення до спiльного знаменника

Нижче ти побачиш два дроби з рiзними знаменниками. Тобi потрiбно звести дроби до спiльного знаменника, змiнивши їх так, щоб вони мали однаковi знаменники.

Дроби $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ мають рiзнi знаменники. А отже, множимо обидва дроби на знаменник iншого дробу — як вище, так i нижче риски дробу — i отримуємо

\frac{a \times d}{b \times d} = \frac{a d}{b d} i \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{c b}{d b}

Як ти вже дiзнався ранiше, якщо помножити чисельник i знаменник дробу на те саме число, значення дробу не змiниться. Але ти отримаєш два дроби з однаковими знаменниками! Спiльним знаменником у цьому випадку є $b d = d b$ .

Приклад 1

Обчисли $\frac{5}{8} - \frac{1}{4}$ i $\frac{1}{6} + \frac{3}{8}$

Почни з першого виразу. Тут потрiбно розкласти на множники обидва знаменники, щоб звести їх до спiльного знаменника:

8 = 2 \times 2 \times 2 i 4 = 2 \times 2 .

Оскiльки число 2 тут зустрiчається щонайбiльше тричi (пiд час розкладання на множники числа 8), то спiльним знаменником буде

2 \times 2 \times 2 = 8 .

А отже, отримаємо

\begin{array}{l} \frac{5}{8} - \frac{1}{4} & = \frac{5}{8} - \frac{1 \times 2}{4 \times 2} \\ = \frac{5 - 2}{8} \\ = \frac{3}{8} . \end{array}

Повтори тi самi дiї для наступного рiвняння:

6 = 2 \times 3 i 8 = 2 \times 2 \times 2 .

Тут спiльним знаменником буде

2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24 .

Отримаємо

\begin{array}{l} \frac{1}{6} + \frac{3}{8} & = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} + \frac{3 \times 3}{8 \times 3} \\ = \frac{4 + 9}{24} \\ = \frac{13}{24} . \end{array}

\frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{1 \times 4}{6 \times 4} + \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{4 + 9}{24} = \frac{13}{24} .

Приклад 2

Обчисли $\frac{7}{12} - \frac{1}{3}$

Через те, що знаменники рiзнi ( $12 \neq 3$ ), тобi потрiбно звести дроби до спiльного знаменника. Для цього потрiбно розкласти обидва знаменники на множники i визначити максимальну кiлькiсть разiв, яку зустрiчається кожне просте число:

12 = 2 \times 2 \times 3 i 3 = 3 .

Як бачиш, число 2 тут зустрiчається щонайбiльше двiчi (пiд час розкладання на множники числа 12), а число 3 — один раз (пiд час розкладання на множники чисел 3 i 12). Не важливо, що число 3 присутнє в обох випадках розкладання на множники, — рахується лише максимальна кiлькiсть разiв, яку зустрiчається кожне просте число. Отже, спiльний знаменник дорiвнює $2 \times 2 \times 3 = 12$ . А отже, дрiб з числом 12 у знаменнику можна не чiпати, а дрiб з числом 3 у знаменнику потрiбно розширити на 4, щоб у знаменнику цього дроба теж отримати число 12:

\frac{7}{12} - \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{7 - 4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} .

Зверни увагу! Коли зводиш дроби до спiльного знаменника, не рахуй загальну кiлькiсть разiв, яку зустрiчається кожне просте число. Потрiбно лише додати це число максимальну кiлькiсть разiв, яку воно зустрiчається пiд час одного з розкладань на множники. Вище можна побачити, що число 2 також зустрiчається пiд час розкладання на множники числа 6, але це число 2 не потрiбно включати до спiльного знаменника. Пiд час розкладання на множники числа 6 число 2 зустрiчається лише один раз, натомiсть пiд час розкладання на множники числа 8 воно зустрiчається тричi. Отже, число 2 потрiбно включити до спiльного знаменника тричi, а не чотири рази. Число 3 зустрiчається один раз (пiд час розкладання на множники числа 6), тому до спiльного знаменника його потрiбно включити один раз.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!