Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Застосування алгебраїчних тотожностей


Застосування алгебраїчних тотожностей у зворотному порядку

Дуже корисно знати, як виглядає вираз (a + b)2 пiсля розкриття дужок, але часто ще кориснiше знати, яким чином переписати вираз a2 + 2ab + b2. Це означає, що однаково важливо знати що (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, та що a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.

Приклад 1

Розклади на множники x2 + 6x + 9, застосувавши першу алгебраїчну тотожнiсть у зворотному порядку

Нам потрiбно отримати вираз виду (a + b)2, а, отже, треба знайти a та b. Вираз, який дано за умовою, має вид a2 + 2ab + b2. Оскiльки першим членом в обидвох виразах a2 та x2, a дорiвнює x. Потiм можна знайти b, пiдставивши b2 = 9 i перевiривши, якi значення для b дають 2ab = 6x:

9 = ±3, 3 × 2x = 6x, 3 × 2x = 6x

9 = ±3,3 × 2x = 6x, 3 × 2x = 6x

Бачимо, що b має дорiвнювати 3, тому що b = 3 не вiдповiдає 2ab = 6x. Отримаємо x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × 3x + 3 × 3 = (x + 3)2.

Розгляньмо приклад, у якому нам потрiбно розкласти вираз на множники, винiсши за дужки спiльнi множники.

Приклад 2

Розклади на множники 2x3 50x

Спочатку потрiбно винести за дужки спiльнi множники:

= 2x3 50x = 2 × x × x × x 2 × 5 × 5 × x = 2x (x2 25) .

2x3 50x = 2 × x × x × x 2 × 5 × 5 × x = 2x (x2 25) .

(x2 25) — це вираз виду (a2 b2), де a = x i b = 5. Це означає, що можна використати третю алгебраїчну тотожнiсть у зворотному порядку. Отримаємо (x2 25) = (x + 5)(x 5), що своєю чергою означає, що
2x (x2 25) = 2x(x + 5)(x 5).

Спрощення рацiональних виразiв

Якщо застосувати все, що ми дiзналися про розкладання на множники та алгебраїчнi тотожностi, тепер ми зможемо спростити дроби, якi виглядають так:

x2 + ax + a2 x2 + bx + b2

Спрощуючи дроби, надзвичайно важливо що всi члени повиннi мати спiльнi множники. Якщо дрiб мiстить член без множника, який мають усi iншi члени, не можна скоротити цей множник! Ось декiлька прикладiв:

Приклад 3

Спрости дрiб 3x 6 x2 4x + 4

Цей дрiб має два члени в чисельнику й три члени в знаменнику. Два члени в чисельнику — це 3x = 3 × x та 6 = 2 × 3. Три члени в знаменнику — це x2 = x × x, 4x = 4 × x та 4 = 2 × 2. Немає множника, який би був спiльним для всiх цих членiв, тому ми не можемо нiчого скоротити, але якщо ми розкладемо чисельник i знаменник поокремо, то одержимо спiльнi множники: Чисельник = 3x 6 = 3(x 2) Знаменник = x2 4x + 4 = (x 2)2 = (x 2)(x 2)

Ми розклали на множники чисельник i знаменник, i в нас залишилося по одному члену в кожному з них: 3(x 2) в чисельнику та (x 2)2 в знаменнику. Як бачимо, (x 2) є спiльним множником цих двох членiв. Це означає, що його можна скоротити: 3x 6 x2 4x + 4 = 3(x 2) (x 2)2 = 3(x 2) (x 2)(x 2) = 3 x 2

Зверни увагу! На цьому прикладi показано, що чисельник або знаменник не обов’язково має бути однiєю змiнною — вiн може бути виразом, таким як (x 2)2. Знаки плюс i мiнус роздiляють члени.

Приклад 4

Спрости дрiб x + 1 x2 4 + x 2 + 1 4

З чисельником нiчого не вдiєш, але якщо знаменник помножити на 4, то отримаємо 4 × (x2 4 + x 2 + 1 4) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2.

Iз цим новим знаменником легше працювати. Оскiльки ми помножили знаменник на 4, нам потрiбно зробити те саме з чисельником. . Це означає, що чисельник стає 4 × (x + 1). Як бачимо, (x + 1) — це спiльний множник для чисельника та знаменника, тому, скоротивши його, отримаємо

x + 1 x2 4 + x 2 + 1 4 = 4(x + 1) (x + 1)2 = 4 x + 1.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Третя алгебраїчна тотожність