Як розв’язувати квадратні рівняння з комплексними коефіцієнтами

Пiд час розв’язування квадратних рiвнянь з використанням формули коренiв квадратного рiвняння, iнколи отримуємо вiд’ємне значення пiд квадратним коренем. У таких випадках рiвняння не має дiйсних розв’язкiв.

Але тепер, коли ми працюємо з комплексними числами, можемо знайти всi розв’язки квадратних рiвнянь. Причина цього полягає в тому, що уявну одиницю $i$ можна використати для знаходження комплексних розв’язкiв формули коренiв квадратного рiвняння.

Правило

Квадратнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами

Нехай $a, b, c \in ℂ$ — це комплекснi числа з $a \neq 0$ . Тодi $a z^{2} + b z + c = 0$ має такi розв’язки:

z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Якщо вираз $b^{2} - 4 a c$ вiд’ємний, потрiбно використати уявну одиницю $i$ , щоб знайти розв’язки.

Приклад 1

Розв’яжи рiвняння $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ вiдносно $z$

Нам вiдомо, що коефiцiєнтами рiвняння є $a = 1$ , $b = - 4$ та $c = 5$ . Це означає, що для знаходження розв’язкiв можна використати формулу коренiв квадратного рiвняння:

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2} . \end{array}

Оскiльки маємо вiд’ємне число, що стоїть пiд знаком квадратного кореня, рiвняння не має дiйсних розв’язкiв. Однак, використовуючи уявну одиницю, все-таки можна знайти комплекснi розв’язки:

\begin{array}{l} \sqrt{- 4} & = \sqrt{(4) (- 1)} \\ = \sqrt{4} \sqrt{- 1} \\ = 2 i . \end{array}

\sqrt{- 4} = \sqrt{(4) (- 1)} = \sqrt{4} \sqrt{- 1} = 2 i .

Отже, остаточнi розв’язки рiвняння такi:

\begin{matrix} z = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2} = \frac{4 \pm 2 i}{2} = 2 \pm i \\ ⇓ \\ z_{1} = 2 + i and z_{2} = 2 - i . \end{matrix}

Зверни увагу! Щоб розв’язати Приклад 1, ми використали таке спiввiдношення:

\sqrt{- 4} = \sqrt{(4) (- 1)} = \sqrt{4} \sqrt{- 1} = 2 i .

Це спiввiдношення загалом не справджується для комплексних чисел. Використання цього спiввiдношення для комплексних чисел може спричинити невiдповiдностi. Нижче наведено приклад таких невiдповiдностей:

\begin{array}{l} - 1 & = i \cdot i \\ = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} \\ = \sqrt{- 1 \cdot - 1} \\ = \sqrt{1} \\ = 1 . \end{array}

- 1 = i \cdot i = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{- 1 \cdot - 1} = \sqrt{1} = 1 .

Причина, через яку це обчислення призводить до суперечностi, полягає в тому, що

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} \neq \sqrt{- 1 \cdot - 1}

. Правило, яке стверджує, що

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

справджується лише, якщо обидва

a

та

b

— це додатнi числа.

Використовуючи формулу коренiв квадратного рiвняння, можна розв’язувати квадратнi рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. У цих випадках тобi знадобляться певнi знання про добування коренiв з комплексних чисел, щоб спростити вираз, що стоїть пiд знаком квадратного кореня.

Приклад 2

Розв’яжи рiвняння $\frac{1}{2} z^{2} + i z + \frac{\sqrt{3}}{2} i = 0$ вiдносно $z$

Бачимо, що коефiцiєнтами є $a = \frac{1}{2}$ , $b = i$ та $c = \frac{\sqrt{3}}{2} i$ . Це означає, що можна скористатися формулою коренiв квадратного рiвняння, щоб знайти розв’язки:

\begin{array}{l} z & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- i \pm \sqrt{i^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} i}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\ = - i \pm \sqrt{- 1 - \sqrt{3} i} . \end{array}

Усi комплекснi числа $w$ мають два квадратнi коренi. У цьому прикладi потрiбно лише розглянути корiнь, аргумент якого лежить в iнтервалi $[0, π)$ . Причина цього полягає в тому, що обидва розв’язки включенi до $\pm \sqrt{w}$ . Щоб добути квадратний корiнь iз $w = - 1 - \sqrt{3} i$ , спочатку потрiбно записати $w$ у тригонометричнiй формi. У цьому прикладi норма $w$ дорiвнює $r = 2$ , а аргумент дорiвнює $𝜃 = \frac{4 π}{3}$ . Отже, тригонометрична форма запису цього комплексного числа виглядає так: $w = 2 e^{i \frac{4 π}{3}}$ . Тепер можна знайти квадратний корiнь $w$ , добувши квадратний корiнь iз норми $w$ та подiливши аргумент $w$ на $2$ . Тож квадратний корiнь $w$ становить $\sqrt{2} e^{i \frac{2 π}{3}}$ . В алгебраїчнiй формi квадратний корiнь записується як $- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i$ . Отже, розв’язки рiвняння такi:

\begin{matrix} z = - i \pm (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i) \\ ⇓ \\ z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i \end{matrix}

та

\begin{matrix} z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i . \end{matrix}

\begin{matrix} z = - i \pm (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} i) \\ ⇓ \\ z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + (\frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i та z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (- \frac{\sqrt{6}}{2} - 1) i . \end{matrix}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як розв’язувати лінійні рівняння з комплексними числами

Наступна стаття

Як розкласти многочлени на множники над полем комплексних чисел

Повернутися