Що таке корені комплексного числа?

Число $- 1$ не має дiйсних квадратних коренiв, тому що не iснує дiйсних чисел, якi в разi множення самих на себе дають вiд’ємний добуток. Щоб подолати цю перешкоду, потрiбно визначити уявне число $i$ як квадратний корiнь $- 1$ . Використовуючи $i$ , можна показати, що можливо добути загальний корiнь $n$ -го степеня з усiх чисел, включно з комплексними числами:

Теорiя

Визначення кореня $n$ -го степеня

Комплексне число $w$ — це корiнь $n$ -го степеня $z$ , якщо $w$ задовольняє умову

w^{n} = z .

Корiнь $n$ -го степеня з числа $z$ — це число, яке в разi множення самого на себе $n$ разiв дає $z$ . Щоб добути корiнь $n$ -го степеня комплексного числа $z$ , доцiльно записати $z$ в тригонометричнiй формi. Якщо записати $z = r e^{i 𝜃}$ , можна легко знайти число $w_{0}$ , яке задовольняє визначення кореня $n$ -го степеня, використовуючи правила пiднесення до степеня:

w_{0} = {(r e^{i 𝜃})}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{𝜃}{n}} .

Щоб знайти корiнь $n$ -го степеня $z$ , треба добути корiнь $n$ -го степеня норми $z$ i подiлити аргумент $z$ на $n$ . Також можна знайти iншi коренi $n$ -го степеня $z$ , тому що тригонометрична форма $z$ не унiкальна.

Обертання на $2 π$ радiан не змiнює значення $z$ , тому можна записати

z = r e^{i (𝜃 + 2 π \cdot k)}

для довiльного цiлого $k \in ℤ$ . Використовуючи правила пiднесення до степеня, можна отримати загальний вираз для коренiв $n$ -го степеня $z$ :

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)} .

Кожне цiле число $k$ дає нам новий корiнь $n$ -го степеня $w_{k}$ , якщо $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ . Якщо $k$ дорiвнює $n$ або бiльше, ми бiльше не отримуватимете новi коренi $n$ -го степеня. Це тому, що ми тепер обернулися на $2 π$ радiан й повернулися у вихiдну точку $w_{0}$ .

Формула

Корiнь $n$ -го степеня

Для кожного комплексного числа $z = r e^{i 𝜃} \neq 0$ iснує $n$ рiзних коренiв $n$ -го степеня $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ , заданих формулою

w_{k} = r^{\frac{1}{n}} e^{i (\frac{𝜃}{n} + \frac{2 π}{n} \cdot k)},

для цiлого числа $k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 .$

Кожен корiнь $n$ -го степеня $z$ має однакову норму, а рiзниця аргументiв мiж $w_{k}$ i $w_{k - 1}$ дорiвнює $\frac{2 π}{n}$ . Якщо нам вiдомо $w_{k}$ , можна знайти $w_{k + 1}$ за допомогою формули

w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k},

де $w_{+} = e^{i \frac{2 π}{n}}$ . Це пов’язано з тим, що множення на $w_{+}$ можна розглядати як обертання на $\frac{2 π}{n}$ радiани на комплекснiй площинi.

Стратегiя добування кореня $n$ -го степеня $z$ полягає в тому, щоб спочатку знайти $w_{0} = z^{\frac{1}{n}}$ , а потiм iншi коренi $n - 1$ степеня, помноживши на $w_{+}$ .

Приклад 1

Добудь коренi четвертого степеня iз $z = - 81$

Щоб добути коренi четвертого степеня, доцiльно записати $z$ у тригонометричнiй формi. Тут норма $r = 81$ , а аргумент $𝜃 = π$ . Отже, в тригонометричнiй формi $z$ можна записати так:

z = 81 e^{i π} .

Далi можна знайти $w_{0}$ :

w_{0} = z^{\frac{1}{4}} = 3 e^{i \frac{π}{4}},

i $w_{+}$ :

w_{+} = e^{i \frac{2 π}{4}} = e^{i \frac{π}{2}} .

Тепер можна знайти iншi коренi, використовуючи залежнiсть $w_{k + 1} = w_{+} \cdot w_{k}$ :

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} \\ = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

\begin{array}{l} w_{1} & = w_{+} \cdot w_{0} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{π}{4}} = 3 e^{i \frac{3 π}{4}} \\ w_{2} & = w_{+} \cdot w_{1} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{3 π}{4}} = 3 e^{i \frac{5 π}{4}} \\ w_{3} & = w_{+} \cdot w_{2} = e^{i \frac{π}{2}} \cdot 3 e^{i \frac{5 π}{4}} = 3 e^{i \frac{7 π}{4}} . \end{array}

Оскiльки в умовi завдання дано число

z

, записане в алгебраїчнiй формi, вiдповiдь також треба надати в алгебраїчнiй формi. В алгебраїчнiй формi коренi четвертого степеня iз

z

такi:

\begin{array}{l} w_{0} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i, \\ w_{1} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} i, \\ w_{2} & = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i, \\ w_{3} & = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} i . \end{array}

Оскiльки всi коренi $n$ -го степеня числа мають однакову норму, коренi $n$ -го степеня $w_{0}, w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n - 1}$ рiвномiрно розподiленi по колу на комплекснiй площинi. Коренi четвертого степеня з $81$ , що показує Приклад 1 на комплекснiй площинi лежать на колi з радiусом $3$ , а кут мiж коренями становить $\frac{π}{2}$ радiани:

Коренi четвертого степеня з 81, зображенi на комплекснiй площинi.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як можна спростити складні дроби

Наступна стаття

Що таке формула Муавра та як її використовувати?

Повернутися

Визначення кореня n-го степеня

Корiнь n-го степеня

Визначення кореня $n$ -го степеня

Корiнь $n$ -го степеня