Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що таке математичне доведення?


У математицi дуже важливо вмiти довести те, що ти робиш. Доведення – це послiдовнiсть логiчних наслiдкiв та еквiвалентностей, у яких вiдповiддю є весь текст. У звичайнiй математичнiй задачi пiд останнiм виразом ми проводимо двi лiнiї, щоб показати, що ми знайшли остаточний розв’язок. Це дуже громiздко в доведеннi, тому що вiдповiддю є весь текст. Замiсть проведення двох лiнiй пiд вiдповiддю, доведення часто завершуємо словами «що й треба було довести». Замiсть них може використовуватися абревiатура Q.E.D; це скорочення, що походить iз латинської мови та розшифровується як «quod erat demonstrandum» та власне й означає «що й треба було довести». Iншим символом, який також використовується для позначення завершення доведення, є знак завершення доведення — «символ Халмоша». Вiн виглядає так: або

Iснує багато видiв доведень. На цьому вебсайтi ти зможеш дiзнатися бiльше про такi види доведення: пряме доведення, доведення протиставленням, метод математичної iндукцiї та одне доведення теореми Пiфагора.

Але спершу трохи про доведення загалом.

Доведення – це пояснення того, чому щось є правильним. Те, що ми намагаємося довести, є висновком. Ось структура простого доведення:

  • Припущення 1: Кожна людина смертна.

  • Припущення 2: Сократ – це людина.

  • Висновок: Сократ смертний.

У кожному доведеннi використовуються одне чи декiлька припущень. Наше доведення має два припущення: «Кожна людина смертна» та «Сократ – це людина». Доведення не має переконувати тебе в тому, що припущення правильнi—ти можеш вважати, що Сократ—це зебра пiд прикриттям або що люди можуть стати безсмертними, якщо вони не будуть їсти вуглеводи. Але якщо ми визнаємо припущення, то доведення пояснює, чому ми також маємо визнати, що висновок є правильним.

Теорiя

Доведення в математицi

Працюючи з доведенням, ми завжди розпочинаємо з припущення та завершуємо бажаним висновком, використовуючи логiчнi кроки. Кожен наступний крок завжди повинен слiдувати з попереднього—кожен крок має бути логiчним наслiдком чи еквiвалентнiстю.

Приклад 1

Доведи, що якщо nпарне число, то n2 — парне число

Тут маємо таке припущення: є число n, яке є парним числом—тобто числом, кратним 2, або, iнакше кажучи, що справджується вираз n = 2m для цiлого числа m. Виконавши перетворення, побачимо, що

n = 2m n2 = (2m)2 = 4m2 = 2 (2m2) = 2 k, де k = 2m2.

n = 2m n2 = (2m)2 = 4m2 = 2 (2m2) = 2 k, де k = 2m2.

Отже, n2 — це також число, кратне 2, й, тому, парне число, що й треба було довести.
Q.E.D

Приклад 2

Доведи, що серед трьох послiдовних цiлих чисел одне дiлиться на 3.

Ми знаємо, що всi числа в третьому рядку таблицi множення (3, 6, 9, 12,) дiляться на 3. Звiдси можна зробити висновок, що кожне третє послiдовне цiле число дiлиться на 3 та що мiж ними розташованi рiвно два цiлi числа, якi не дiляться на 3.

Це означає, що серед трьох послiдовних цiлих чисел одне кратне 3. Логiчнi роздуми виглядають так: якби жодне з трьох послiдовних чисел не було кратним 3, було б пропущене одне з чисел, кратне 3, Так не може бути, тому одне з трьох послiдовних чисел має дiлитися на 3, що й треба було довести.

Q.E.D

Ось ще один спосiб доведення цього самого:

Приклад 3

Доведи, що серед трьох послiдовних цiлих чисел одне дiлиться на 3.

Ми знаємо, що послiдовнi цiлi числа можна виразити таким чином: Обираємо довiльне цiле число n. Тодi число, яке на одиницю бiльше, дорiвнює n + 1, а число, яке бiльше на одиницю вiд цього числа, дорiвнює n + 2. Отже, послiдовнi числа будуть такими:

n,n + 1,n + 2.

Пiд час дiлення n на 3, є три варiанти: можемо отримати 0, 1 або 2 в остачi (остача = це те, що залишається, якщо дiлене не дiлиться нацiло на дiльник). Отже, маємо такi варiанти:

1.
Якщо в остачi отримуємо 0, це означає, що дiлення вiдбулося нормально. Отже, n дiлиться на 3.
2.
Якщо в остачi отримуємо 1, це означає, що n 1 дiлиться на 3, тому що n 1 + 1 = n. У такому разi
(n 1) + 3 = n + 2

також дiлиться на 3, оскiльки кожне третє цiле число дiлиться на 3.

3.
Якщо в остачi отримуємо 2, це означає, що n 2 дiлиться на 3, тому що n 2 + 2 = n. У такому разi
(n 2) + 3 = n + 1

також дiлиться на 3, оскiльки кожне третє цiле число дiлиться на 3.

Тож бачимо, що в кожному варiантi одне з чисел n, n + 1 та n + 2 дiлиться на 3. Отже, серед трьох послiдовних цiлих чисел завжди знайдеться число, яке дiлиться на 3, що й треба було довести.

Q.E.D

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Які відмінності між логічним наслідком та еквівалентністю?