Як використовувати метод знижування порядку для розв'язання диференціальних рівнянь

Нехай $y^{\prime }=u$; виконуємо пiдстановку:

$$u^{″}-7u^{\prime }+12=0.$$

Отримуємо характеристичне рiвняння

$$\begin{array}{llll}\hfill r^2-7r+12& =0,& \hfill & \\ \hfill (r-4)(r-3)& =0& \hfill & \end{array}$$

iз розв’язками $r_1=4$ i $r_2=3$. Вводимо $r_1$ i $r_2$ у формулу для розв’язку характеристичного рiвняння i отримуємо

$$u(x)=C_1{e}^{4x}+C_2{e}^{3x}.$$

Тепер потрiбно пiдставити $y^{\prime }=u$ назад:

$$y^{\prime }=C_1{e}^{4x}+C_2{e}^{3x}.$$

Виконавши iнтегрування, отримуємо

$$\begin{array}{llll}\hfill y& =\int y^{\prime }dx& \hfill & \\ \hfill & =\int C_1{e}^{4x}+C_2{e}^{3x}dx& \hfill & \\ \hfill & =\frac{C_1}{4}{e}^{4x}+\frac{C_2}{3}{e}^{3x}+C_3.& \hfill & \end{array}$$