Як визначити, чи є функція диференційовною?

Поряд iз неперервнiстю можна також говорити про те, чи є функцiя диференцiйовною. Функцiя є диференцiйовною в точцi, якщо вона одночасно неперервна в точцi i не має «каспа». Касп з’являється у разi раптової змiни кутового коефiцiєнта функцiї. Приклад можна побачити на зображеннi нижче.

Функцiї з «каспом» виникають, якщо ми маємо так звану кусково-задану функцiю. Це означає, що функцiя має один вираз в одному iнтервалi, а iнший — в iншому iнтервалi. На рисунку нижче можна побачити, що f(x) = x2 + 2, якщо x 1 (графiк синього кольору), i що f(x) = 2x + 5, якщо x > 1 (графiк рожевого кольору). Математично це записується так:

f(x) = { x2 + 2, якщо x ≤ 1, 2x + 5, якщо x > 1.

Диференцiйовнiсть функцiї

Навiть попри те, що графiк у цьому випадку є неперервним для x = 1, вiн не є диференцiйовним для x = 1. Касп виникає, якщо можна провести кiлька дотичних до графiка. У точках на графiку, через якi можна провести багато дотичних, похiдна не визначена, i можна сказати, що функцiя не є диференцiйовною.

Щоб правильно пояснити диференцiйовнiсть, потрiбно знати, що означають права та лiва границi.

Теорiя

Права та лiва границi

  • Границя f(a) — це права границя, коли ми наближаємося до точки x = a зi значеннями x, вищими за a. Записуємо

    lim xa+f(x) = f(a).
  • Границя f(a) — це лiва границя, коли ми наближаємося до точки x = a зi значеннями x, нижчими за a. Записуємо

    lim xaf(x) = f(a).

Тепер наведемо визначення диференцiйовностi

Теорiя

Диференцiйовнiсть

Ми кажемо, що функцiя диференцiйовна в точцi x = a, якщо f(x) неперервна в точцi x = a i

lim xaf(x) = lim xa+f(x).

Зверни увагу! Коли ми перевiряємо диференцiйовнiсть кусково-заданої функцiї, то використовуємо вираз для значень, менших за a в lim xaf(x), i вираз для значень, бiльших за a в lim xa+f(x).

Приклад 1

Визнач, чи функцiя

f(x) = { x2 + 2, якщо x ≤ 1, 2x + 5, якщо x > 1

з рисунка вище є диференцiйовною

Щоб вiдповiсти на це запитання, спочатку потрiбно перевiрити, чи є f(x) неперервною. Чи є lim xaf(x) = f(a) для всiх a ? Для a 1 маємо

lim xaf(x) = lim xax2 + 2 = a2 + 2 = f(a),

а для a > 1 маємо

lim xaf(x) = lim xa 2x + 5 = 2a + 5 = f(a).

Границi iснують, i можна зробити висновок, що f(x) є неперервною.

Тепер потрiбно перевiрити, чи

lim xaf(x) = lim xa+f(x)

для всiх x . Спочатку знаходимо f(x):

f(x) = { 2x, якщо x ≤ 1, 2, якщо x > 1.

Перевiряємо, чи є f диференцiйовною в точцi x = 1. Спочатку знаходимо лiву границю:

lim x1f(x) = lim x12x = 2 1 = 2.

Потiм знаходимо праву границю:

lim x1+f(x) = lim x1+ 2 = 2.

Оскiльки

lim x1f(x) = 2 2 = lim x1+f(x),

ми знаємо, що f(x) не є диференцiйовною в точцi x = 1.

Приклад 2

З’ясуй, у якiй точцi функцiя

f(x) = 2x2 3 x2 4

є одночасно неперервною та диференцiйовною

Оскiльки це рацiональна функцiя, то вiдомо, що вона переривчаста в точках, де має вертикальнi асимптоти, тобто де її знаменник дорiвнює 0. А отже, потрiбно розв’язати рiвняння:

x2 4 = 0 x2 = 4 x = ±4 = ±2

Це означає, що функцiя f(x) неперервна для всiх значень x, крiм x = 2 i x = 2. Записуємо це математично як x {2, 2} (усi x у , крiм x = 2 i x = 2).

Оскiльки функцiя має бути неперервною в точцi, щоб бути диференцiйовною в цiй точцi, то можна зробити висновок, що функцiя не є диференцiйовною в точках x = 2 i x = 2. Запитання в тому, чи є iншi точки, в яких f(x) не є диференцiйовною. Щоб перевiрити це, з’ясовуємо, чи

lim xaf(x) = lim xa+f(x)

для всiх значень x. Спочатку знаходимо вираз для похiдної:

f(x) = 4x (x2 4) (2x2 3) 2x (x2 4) 2 = 4x3 16x 4x3 + 6x (x2 4) 2 = 10x (x2 4) 2 f(a) = 10a (a2 4) 2

Як ми знаємо, f(a) визначається для всiх a, окрiм випадкiв, коли знаменник f(a) не визначено. Це можливо, якщо знаменник дорiвнює 0. Задаємо знаменник рiвним 0 i розв’язуємо рiвняння для a:

(a2 4) 2 = 0 a2 4 = 0 a2 = 4 a = ±4 = ±2

Це означає, що f(x) є диференцiйовною для всiх x {2, 2} (усi x в , крiм x = 2 i x = 2).

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!