Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як використовувати метод розкладання на простi дроби для iнтегрування


Розкладання на простi дроби має довгу назву, але насправдi це простий i зручний метод. Ми використовуємо множники в знаменнику, щоб створити новi, бiльш ефектнi дроби. Коли ми задаємо новi дроби, iнтегрування стає значно простiшим. Шикарно!

Правило

Вказiвки з розкладання на простi дроби

1.
Розклади знаменник на множники, знайшовши нулi.
2.
Промiжний розрахунок (див. блок нижче):
а)
Задай вираз рiвним сумi дробiв i вибери в чисельнику константи A,B,C, — по однiй лiтерi на дрiб.
б)
Помнож на спiльний знаменник.
в)
Вiдсортуй рiзнi доданки окремо.
г)
Створи систему рiвнянь i розв’яжи для A,B,C,
3.
Пiдстав вираз у iнтеграл i виконай iнтегрування. Супер!

Приклад 1

Обчисли 3x x2 x 2dx

3x x2 x 2dx = 3x (x 2)(x + 1)dx = 2 x 2 + 1 x + 1dx = 2 ln |x 2| + ln |x + 1| + C

*

3x (x 2)(x + 1) = A x 2 + B x + 1 3x = A(x + 1) + B(x 2) 3x = Ax + A + Bx 2B 3x + 0 = (A + B)x + (A 2B) Прирiвнюємо доданки одного степеня i розв’язуємо. Отримуємо A + B = 3 i A 2B = 0, що дає A = 2 i B = 1.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як виконувати інтегрування методом підстановки
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування