Як використовувати метод розкладання на прості дроби для інтегрування

Розкладання на простi дроби має довгу назву, але насправдi це простий i зручний метод. Ми використовуємо множники в знаменнику, щоб створити новi, бiльш ефектнi дроби. Коли ми задаємо новi дроби, iнтегрування стає значно простiшим. Шикарно!

Правило

Вказiвки з розкладання на простi дроби

1.

Розклади знаменник на множники, знайшовши нулi.

2.

Промiжний розрахунок (див. блок нижче):

а): Задай вираз рiвним сумi дробiв i вибери в чисельнику константи $A, B, C, \dots$ — по однiй лiтерi на дрiб.
б): Помнож на спiльний знаменник.
в): Вiдсортуй рiзнi доданки окремо.
г): Створи систему рiвнянь i розв’яжи для $A, B, C, \dots$

3.

Пiдстав вираз у iнтеграл i виконай iнтегрування. Супер!

Приклад 1

Обчисли $\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x$

\begin{array}{l} \int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x & = \int \frac{3 x}{(x - 2) (x + 1)} d x \\ \overset{*}{=} \int \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} d x \\ = 2 \ln | x - 2 | + \ln | x + 1 | + C \end{array}

\begin{aligned} \frac{3 x}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} \\ 3 x = A (x + 1) + B (x - 2) \\ 3 x = A x + A + B x - 2 B \\ 3 x + 0 = (A + B) x + (A - 2 B) \\ Прирiвнюємо доданки одного степеня i розв’язуємо. \\ Отримуємо A + B = 3 i A - 2 B = 0, \\ що дає A = 2 i B = 1 . \end{aligned}

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як виконувати інтегрування методом підстановки

Наступна стаття

Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування

Повернутися