Що таке квадратичні функції?

Полiномiальна функцiя, у якiй найвищий показник дорiвнює 2, називається квадратичною функцiєю. Графiк квадратичної функцiї називається параболою, i нагадує сумне або усмiхнене обличчя. Нижче показано рiзнi приклади парабол.

Теорiя

Квадратична функцiя

Квадратична функцiя має такий вигляд:

f (x) = a x^{2} + b x + c,

де $a$ , $b$ i $c$ — це константи. Константи $a$ i $b$ називають коефiцiєнтами. Член $a x^{2}$ називають членом другого степеня, або квадратичним членом, член $b x$ — членом першого степеня, або лiнiйним членом, а $c$ — вiльним членом.

Нижче наведено зображення графiкiв рiзних квадратичних функцiй. Зверни увагу, що всi вони мають максимум або мiнiмум.

Графiки чотирьох функцiй, побудованi в однiй системi координат

Правило

Парабола (максимуми й мiнiмуми)

Якщо $a > 0 (додатне число) \Rightarrow ⋃$ : графiк нагадує усмiхнене обличчя, а функцiя має мiнiмум (вершину).
Якщо $a < 0 (вiд’ємне число) \Rightarrow ⋂$ : графiк нагадує сумне обличчя, а функцiя має максимум (вершину).

Приклад 1

Дано квадратичну функцiю

f (x) = 0.5 x^{2} - x - 3 .

Визнач, чи має парабола максимум чи мiнiмум.

Як бачимо, коефiцiєнт перед $x^{2}$ є додатним числом ( $a > 0$ ). Отже, графiк нагадує усмiшку i має мiнiмум.

Приклад мiнiмуму квадратичної функцiї

Приклад 2

Дано квадратичну функцiю

f (x) = - x^{2} - x + 12 .

Визнач, чи має парабола максимум чи мiнiмум.

У цьому випадку коефiцiєнт перед $x^{2}$ є вiд’ємним числом ( $a < 0$ ). Отже, графiк буде звернений униз i матиме максимум, як на рисунку нижче.

Приклад максимуму квадратичної функцiї

Для знаходження максимумiв i мiнiмумiв можна використовувати кiлька методiв: похiдну, дiаграму знакiв або метод, описаний далi:

Правило

Знаходження максимуму або мiнiмуму параболи

Якщо дано квадратичну функцiю

f (x) = a x^{2} + b x + c,

то значення $x$ i $y$ вершини можна знайти так:

Значення $x$ максимальної або мiнiмальної точки:

x = - \frac{b}{2 a} .

Значення $y$ максимальної або мiнiмальної точки:

y = f (- \frac{b}{2 a}) .

Приклад 3

Визнач, чи має графiк функцiї $f (x) = x^{2} - 4 x + 4$ максимум чи мiнiмум, i знайди вiдповiдну точку

Функцiя $f (x)$ має $a = 1$ , $b = - 4$ i $c = 4$ . Оскiльки у виразi $a = 1 > 0$ , ми знаємо, що графiк нагадує усмiшку i має мiнiмум.

Спершу знаходимо значення $x$ , а потiм значення $y$ цього мiнiмуму:

\begin{array}{l} x & = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \\ y & = f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \end{array}

Отже, мiнiмум вiдповiдає $(2, 0)$ . Перевiривши $f (x) = x^{2} - 4 x + 4$ , бачимо, що це квадрат, тому має лише один нуль. У цьому випадку нуль i мiнiмум — це та сама точка.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Що таке поліноміальні функції?

Повернутися