Що таке показникові функції?

Коли величина збiльшується або зменшується на однаковий вiдсоток у кожному перiодi, маємо експоненцiйне (вiдсоткове) зростання. Експоненцiальне зростання може бути вiд’ємним. Тодi графiк спадає праворуч, а не зростає до нескiнченностi, як у iншому випадку.

Теорiя

Показниковi функцiї

Показникова функцiя виражається так:

f (x) = a \cdot b^{x}

Зверни увагу, що змiнна тепер є показником степеня. I $a$ , i $b$ є числами. Ми називаємо $a$ початковим значенням, а $b$ — коефiцiєнтом зростання.

Коли значення $a$ додатне, графiк буде схожим на один iз двох графiкiв, наведених нижче.

Правило

Графiк показникової функцiї

Графiки показникової функцiї, що зростає i спадає

$a$ — це значення $y$ для $x = 0$ , $b$ — це коефiцiєнт зростання,

$0 < b < 1$ графiк синього кольору, $b > 1$ графiк червоного кольору.

Загалом $b > 1$ дає фiксований вiдсоток зростання, $0 < b < 1$ дає фiксований вiдсоток спаду, а $b = 1$ не призводить до змiн. Число $b$ дiє як коефiцiєнт зростання. Значення $a$ впливає на знак значень функцiї.

Приклад 1

Припустiмо, ти вносиш $₴ 5000$ на ощадний рахунок. Ти отримуєш вiдсоткову ставку в розмiрi $3 %$ за цим депозитом. Скiльки коштiв буде на твоєму рахунку через 7 рокiв?

Це приклад експоненцiйного зростання. Спочатку потрiбно знайти коефiцiєнт зростання, пов’язаний iз збiльшенням на $3$ %:

Коефiцiєнт зростання = 1 + \frac{3}{100} = 1 + 0.03 = 1.03 .

Початкове значення становить $₴ 5000$ , а коефiцiєнт зростання — $1.03$ . Оскiльки кошти зберiгаються на рахунку 7 рокiв, множимо коефiцiєнт зростання сам на себе сiм разiв. У математицi це записується у виглядi степеня з показником 7. Щоб знайти суму, яку ти матимеш через сiм рокiв, потрiбно обчислити такi доданки:

5000 \cdot 1.0 3^{7} = 6149.37 .

Отже, через сiм рокiв на твоєму рахунку буде $₴ 6149.37$ .

Приклад 2

Маємо функцiю

f (x) = 3 \cdot 2^{x}

. Ця функцiя перетинає вiсь

y

у точцi

y = 3

i зростає експоненцiйно. Ця форма зростання надзвичайно потужна, i згадки про цей графiк також часто використовуються в повсякденному мовленнi, наприклад, коли йдеться про подiю, яка повнiстю розгортається!

Приклад показникової функцiї, що зростає

Приклад 3

Маємо функцiю $f (x) = 3 \cdot 0 . 5^{x}$ . Вона перетинає вiсь $y$ у точцi $y = 3$ i спадає експоненцiйно. Ця форма спадання надзвичайно потужна, i згадки про цей графiк також часто використовуються в повсякденному мовленнi.

Приклад показникової функцiї, що спадає

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке поліноміальні функції?

Наступна стаття

Показникові функції з числом Ейлера

Повернутися