Що таке закон синуса?

Трикутник iз законом синуса

Одиничне коло показує нам, що $\sin^{- 1} (A)$ може бути одним iз двох кутiв в iнтервалi $[0 °, 180 °]$ . Тому дуже важливо переконатися, що отримано правильний кут, використовуючи закон синуса. Якщо кут, знайдений тобою, здається неправильним щодо рисунка або iнформацiї, даної в умовi завдання, спробуй вiдняти вiд $180$ ° знайдений тобою кут,

180 ° - v .

Зверни увагу! Зазвичай доцiльно помiстити невiдоме у верхнiй лiвий кут цих рiвнянь. Пам’ятай, що ми використовуємо лише два з трьох дробiв для розв’язання будь-якої задачi! Формула має три дроби, щоб показати, що вони рiвнi й що можна використовувати будь-яку пару з них.

Формула

Закон синуса

Дано два кути та одну сторону або двi сторони та один кут трикутника $△ A B C$ , тодi

\begin{align} \frac{a}{\sin A} & = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} & (1) \\ \frac{\sin A}{a} & = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} & (2) \end{align}

Правило

Застосування

Можна використовувати закон синуса, щоб

Обчислити довжину сторони, якщо дано два кути та сторону, протилежну до одного з вiдомих кутiв. Формула (1).
Обчислити кут, якщо дано один кут i двi сторони, одна з яких протилежна до кута, який треба знайти. Формула (2).

Приклад 1

Дано чотирикутник $□ A B C D$ iз $A B = 12$ , $A D = 6$ , $C D = 5$ та $∠ A B D = 30 °$ . Обчисли $∠ A$ та дiагональ $B D$ .

Корисно накреслити допомiжну фiгуру. Вона виглядає так:

Почнемо з обчислення кута

∠ A D B

, щоб знайти

∠ A

\begin{array}{l} \frac{\sin ∠ A D B}{12} & = \frac{\sin 30 °}{6} & | \cdot 12 \\ \sin ∠ A D B & = \frac{12 \cdot \sin 30 °}{6} = 1 \\ ∠ A D B & = \sin^{- 1} (1) \\ = 90 ° \\ ∠ A & = 180 ° - 90 ° - 30 ° \\ = 60 ° \end{array}

Щоб знайти дiагональ $B D$ , можна використати теорему Пiфагора або закон синусiв. Я покажу, як це розв’язати за допомогою закону синусiв:

\begin{array}{l} \frac{B D}{\sin 60 °} & = \frac{6}{\sin 30 °} & | \cdot \sin 60 ° \\ B D & = \frac{6 \cdot \sin 60 °}{\sin 30 °} \\ \approx \frac{6 \cdot 0.866}{0.5} \\ \approx 10.4 \end{array}

Отже, дiагональ $B D \approx 10.4$ .

Приклад 2

Трикутник $△ A B C$ визначається такими даними: $∠ A = 40 °$ , $A C = 8.0 см$ та $B C = 6.0 см$ . Накресли трикутник i знайди розмiри iнших сторiн та кутiв.

Почнемо з того, що накреслимо вiдрiзок $l$ та позначимо точку $A$ . Побудуємо кут $∠ A = 40 °$ . Потiм позначимо вiдрiзок $A C = 8.0 см$ на лiвiй сторонi $∠ A$ й назвемо цю точку $C$ . Ми ще не знаємо положення точки $B$ , але нам вiдомо, що $B C = 6.0 см$ , тому встановлюємо нiжки нашого циркуля на цю вiдстань. Ставимо вiстря циркуля в точку $C$ та проводимо дугу, яка перетинає вiдрiзок $l$ у двох точках. Назвемо цi точки $B_{1}$ та $B_{2}$ . Це означає, що маємо два трикутники, якi вiдповiдають критерiям, як це показано на наведеному нижче рисунку.