Teste om en gitt funksjon er en løsning (Andreordens differensiallikninger)

Finn den deriverte av funksjonen $y_0$:

$$y_0^{\prime }=e^x+x\cdot e^x.$$

Finn den andrederiverte av funksjonen $y_0$:

$$y_0^{″}=2e^x+x{e}^x.$$

Sett nå uttrykkene for $y_0$, $y_0^{\prime }$ og $y_0^{″}$ inn i differensiallikningen:

$$\begin{array}{llll}\hfill \text{V.S}& =y^{″}-2y^{\prime }+y& \hfill & \\ \hfill & =2e^x+x{e}^x-2\left(e^x+x\cdot e^x\right)+x\cdot e^x& \hfill & \\ \hfill & =0& \hfill & \\ \hfill & =\text{H.S}& \hfill & \end{array}$$

Siden venstresiden er lik høyresiden vet du at funksjonen er en løsning på differensiallikningen.