Що таке виторг, витрати, вартість одиниці та прибуток?

Виторг – це оборот пiдприємства, тобто сума коштiв, яка надходить на його рахунки. За вiдсутностi виразу для розрахунку виторгу використовуємо загальний вираз

I (x) = p \cdot x,

де $x$ — це кiлькiсть проданих одиниць, а $p$ — цiна за одиницю.

Теорiя

Витрати

Витрати – це кошти, якi пiдприємство витрачає на виробництво $x$ одиниць своєї продукцiї.

C (x) .

Розрiзняють постiйнi витрати та змiннi витрати:

Постiйнi витрати (FC) не залежать вiд виробництва, як-от оренда виробничих площ, офiсiв, оплата рахункiв за телефон та Iнтернет.

Змiннi витрати (VC) залежать вiд виробництва, як-от заробiтна плата працiвникiв i вартiсть матерiалiв.

Теорiя

Вартiсть одиницi продукцiї

Вартiсть одиницi продукцiї — це витрати на виробництво однiєї одиницi. Щоб знайти вартiсть одиницi, дiлимо витрати на кiлькiсть вироблених одиниць:

Вартiсть одиницi продукцiї = U (x) = \frac{C (x)}{x} .

Теорiя

Прибуток

Прибуток — це кiлькiсть грошей, що залишається в пiдприємства через певний перiод часу. Прибуток — це рiзниця мiж виторгом та витратами протягом цього перiоду. Його можна записати в такому виглядi:

Прибуток = P (x) = I (x) - C (x) .

Графiчна iнтерпретацiя

Графiк показує збiльшення виторгу злiва направо.
Отже, що бiльше одиниць продукцiї ми продаємо, то бiльше грошей отримує пiдприємство.
Iнший графiк показує зростання витрат злiва направо.
Отже, що бiльше одиниць ми продамо, то бiльше одиниць нам доведеться виробити, а це коштує грошей.
Погляньмо на третiй графiк. На ньому зображено прибуток у формi параболи злiва направо.
Це вказує на низький прибуток на початку, максимальний прибуток на певному помiрному рiвнi виробництва та менший прибуток на вищому рiвнi виробництва. Прибуток часто зменшується пiсля пiдвищення рiвня виробництва через проблеми з потужнiстю та зносом засобiв виробництва.
На iншому графiку в точцi перетину функцiї витрат i функцiї виторгу прибуток дорiвнює $0$ . Це означає, що функцiя прибутку перетинає вiсь $x$ у цiй точцi.
У точцi, в якiй рiзниця мiж функцiєю виторгу та функцiєю витрат є найбiльшою, прибуток також є найбiльшим, тобто $P (x)$ досягає максимуму.
Iнакше кажучи, в усiх точках iз найбiльшим промiжком мiж виторгом i витратами на осi $î ñ i y$ прибуток буде найбiльшим. Значення $x$ у цiй точцi вiдповiдатиме оптимальному рiвню виробництва.
$x$ матиме найменше значення для вартостi одиницi, якщо
$C^{'} (x) = U (x) .$

Приклад 1

У компанiї BMW переконанi, що витрати на виробництво $x$ одиниць нового автомобiля (у євро) визначаються так:

$\begin{matrix} C (x) = 0.25 x^{2} + 100 x + 5000 \\ x \in [0, 400) . \end{matrix}$

$C (x) = 0.25 x^{2} + 100 x + 5000, x \in [0, 400) .$

1.
Знайди вираз для визначення вартостi одиницi.
2.
Якою буде вартiсть одиницi пiд час виробництва 76 автiвок?
3.
BMW продає цю нову модель за $200 000$ євро/автомобiль. Якою буде функцiя виторгу?
4.
Назви виторг вiд продажу 132 автiвок.
5.
Знайди вираз для визначення прибутку.
6.
Скiльки автiвок має виробити BMW, щоби прибуток компанiї перевищував 0?

1.

Щоб знайти вартiсть одиницi, дiлимо сукупнi витрати

C (x)

на кiлькiсть одиниць

x

.

\begin{array}{l} U (x) & = \frac{C (x)}{x} \\ = \frac{0.25 x^{2} + 100 x + 5000}{x} \\ = 0.25 x + 100 + \frac{5000}{x} \end{array}

Отримуємо вартiсть одиницi

U (x) = 0.25 x + 100 + \frac{5000}{x} .

2.

Тодi вартiсть одиницi пiд час виробництва

76

автiвок становить

\begin{array}{l} U (76) & = 0.25 (76) + 100 + \frac{5000}{76} \\ = 184.789 \end{array}

U (76) = 0.25 (76) + 100 + \frac{5000}{76} = 184.789

Числа у функцiї вiдповiдають тисячам євро, тому фактична вартiсть одиницi пiд час виробництва

76

автiвок становить

184.789 \cdot 1000 = 184 789 .

Тобто якщо BMW виробляє $76$ одиниць нового автомобiля, витрати на виробництво кожної одиницi складають $184 789$ євро.

3.

Функцiї вказанi в тисячах євро, тому потрiбно подiлити

200 000

євро на

1000

, щоб отримати правильну вiдповiдь для кожної функцiї. Отримаємо

200 000 : 1000 = 200 .

Тодi створюємо вираз для виторгу, помноживши цiну на кiлькiсть одиниць:

I (x) = 200 x

4.

Щоб знайти виторг вiд продажу

132

автомобiлiв BMW, пiдставляємо 132 у функцiю виторгу:

I (132) = 200 \cdot 132 = 26 400

Нам доведеться знову помножити вiдповiдь на $1000$ , адже функцiя вказана в тисячах євро. Зрештою отримуємо виторг вiд продажу $132$ автiвок:

26 400 \cdot 1000 = 26 400 000,

тобто виторг дорiвнює $26 400 000$ євро.

5.

Прибуток – це рiзниця мiж виторгом та вартiстю одиницi. Отримуємо

\begin{matrix} P (x) = I (x) - C (x) \\ = \\ 200 x - (0.25 x^{2} + 100 x + 5000) \\ = \\ - 0.25 x^{2} + 100 x - 5000 . \end{matrix}

\begin{array}{l} P (x) & = I (x) - C (x) \\ = 200 x - (0.25 x^{2} + 100 x + 5000) \\ = - 0.25 x^{2} + 100 x - 5000 . \end{array}

6.

Тепер знаходимо значення

x

, за якого прибуток набуває додатного значення. Для цього розв’язуємо нерiвнiсть

\begin{array}{l} P (x) & > 0 \\ - 0.25 x^{2} + 100 x - 5000 & > 0 . \end{array}

Як бачимо, функцiя має форму параболи зi скiнченним максимумом, оскiльки це квадратична функцiя з $a = - 0.25 < 0$ . Також вiдомо, що функцiя має додатне значення мiж своїми нулями, яке нам також потрiбно знайти.

Розв’язуємо рiвняння

- 0.25 x^{2} + 100 x - 5000 = 0 .

Це рiвняння можна розв’язати в цифровому iнструментi, наприклад СКА у GeoGebra . Отримуємо вiдповiдь $x_{1} \approx 58.6$ i $x_{2} = 341.4$ . Отже, можна зробити висновок, що виробництво автомобiлiв принесе BMW прибуток за умови виробництва та продажу вiд $59$ до $341$ автомобiля нової моделi.