Що таке правила розрахунків зі степенями?

Нижче наведено правила розрахункiв зi степенями. Їх важливо вивчити. Тут ми ближче познайомимося з цими правилами i з’ясуємо, як їх застосовувати.

Правило

Правила розрахункiв зi степенями

\begin{array}{l} a^{n} \cdot a^{m} & = a^{n + m} & \frac{a^{n}}{a^{m}} & = a^{n - m} \\ {(a^{b})}^{c} & = a^{b \cdot c} & {(a \cdot b)}^{n} & = a^{n} \cdot b^{n} \\ {(\frac{a}{b})}^{n} & = \frac{a^{n}}{b^{n}} & \sqrt{a} & = a^{\frac{1}{2}} \\ a^{- n} & = \frac{1}{a^{n}} & a^{0} & = 1 \end{array}

Пам’ятай, що лiтерам $a$ i $b$ може вiдповiдати будь-яке число або лiтера. Цi правила дiйснi для розрахункiв як iз числами, так i з лiтерами.

Розгляньмо кiлька прикладiв застосування правил для розрахункiв зi степенями.

Правило 1

Насамперед я покажу, як застосовувати Правило $1$ .

Правило

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

Приклад 1

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} 3^{4} \cdot 3^{3} & = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) \\ = 3^{4 + 3} \\ = 3^{7} \end{array}

Отримуємо

3^{4} \cdot 3^{3} = 3^{4 + 3} = 3^{7}

Правило 2

Далi розгляньмо Правило $2$ .

Правило

{(a^{b})}^{c} = a^{b \cdot c}

Приклад 2

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} {(4^{2})}^{4} & = (4^{2}) \cdot (4^{2}) \cdot (4^{2}) \cdot (4^{2}) \\ = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) \\ = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \\ = 4^{8} \end{array}

Це означає, що

{(4^{2})}^{4} = 4^{2 \cdot 4} = 4^{8}

Правило 3

Тепер ти навчишся застосовувати Правило $3$ .

Правило

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

Приклад 3

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} {(\frac{2}{3})}^{3} & = (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{2}{3}) \\ = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} \\ = \frac{2^{3}}{3^{3}} \\ = \frac{8}{27} \end{array}

Отримуємо

{(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}} = \frac{8}{27}

Правило 4

Тепер навчимося застосовувати Правило $4$ .

Правило

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

Приклад 4

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} \frac{3^{4}}{3^{2}} & = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} \\ = 3^{2} \end{array}

Це означає, що

\frac{3^{4}}{3^{2}} = 3^{4 - 2} = 3^{2}

Правило 5

Тепер розгляньмо Правило $5$ .

Правило

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Приклад 5

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} 7^{- 2} & = 7^{0 - 2} \\ = \frac{7^{0}}{7^{2}} \\ = \frac{1}{7^{2}}, \end{array}

що вказує на те, що

7^{- 2} = \frac{1}{7^{2}}

Правило 6

Тепер ти навчишся застосовувати Правило $6$ .

Правило

{(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Приклад 6

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним:

\begin{array}{l} {(5 \cdot 2)}^{4} & = (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \\ = (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \\ = 5^{4} \cdot 2^{4}, \end{array}

що вказує на те, що

{(5 \cdot 2)}^{4} = 5^{4} \cdot 2^{4}

Правило 7

Тепер розгляньмо Правило $7$ .

Правило

\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}

Приклад 7

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним. Придивiмося до нього пильнiше. Ми знаємо, що ${\sqrt{3}}^{2} = 3$ . Взявши це за вiдправну точку, отримаємо

\begin{array}{l} {\sqrt{3}}^{2} & = 3 \\ {({\sqrt{3}}^{2})}^{\frac{1}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{2 \cdot \frac{1}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{\frac{2}{2}} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ {(\sqrt{3})}^{1} & = 3^{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{3} & = 3^{\frac{1}{2}} \end{array}

Правило 8

Нарештi, я покажу, як застосовувати Правило $8$ .

Правило

a^{0} = 1

Приклад 8

З’ясуймо, чому це правило є дiйсним. Тут ми застосуємо один прийом, а саме те, що $0 = 1 - 1$ . Цей прийом може здатися дещо дивним, але вiн працює.

\begin{array}{l} 6 5^{0} & = 6 5^{1 - 1} \\ = \frac{6 5^{1}}{6 5^{1}} \\ = \frac{65}{65} \\ = 1 \end{array}

Це вказує на те, що

6 5^{0} = 1

Об’єднанi приклади

Ось кiлька прикладiв, якi передбачають застосування кiлькох правил одночасно.

Приклад 9

\begin{array}{l} {(2 a)}^{3} \cdot {(a \cdot b)}^{2} & = 2^{3} \cdot a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \\ = 8 \cdot a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \\ = 8 \cdot a^{3 + 2} \cdot b^{2} \\ = 8 a^{5} b^{2} \end{array}

Приклад 10

\begin{array}{l} \frac{a^{4} \cdot {(a^{2} \cdot b)}^{5}}{{(a \cdot b)}^{3}} & = \frac{a^{4} \cdot {(a^{2})}^{5} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = \frac{a^{4} \cdot a^{10} \cdot b^{5}}{} a^{3} \cdot b^{3} \\ = \frac{a^{14} \cdot b^{5}}{a^{3} \cdot b^{3}} \\ = a^{14 - 3} \cdot b^{5 - 3} \\ = a^{11} \cdot b^{2} \end{array}

Готово

Продовжити

Що таке степені 10?

Як знайти квадратний корінь числа

Квадратні корені з добутків та дробів

Порядок арифметичних дій (МДДВ)

Дужки та порядок дій

Порядок арифметичних дій (ДСМДДВ)

Математичні знаки (плюс і мінус)

Як виконувати усні обчислення (округлення)

Як виконувати усні обчислення (наближення)

Як округлити число

Як знаходити наближені значення (усні обчислення)

Як обчислити вартість одиниці

Що таке дроби?

Що таке значення дробу?

Правильний дріб, неправильний дріб і мішаний дріб

Як розширювати дроби?

Як спрощувати дроби?

Як спростити дріб шляхом скорочення

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками

Знаходження спільного знаменника шляхом перемноження знаменників

Знаходження спільного знаменника шляхом розширення або спрощення

Знаходження спільного знаменника за таблицею множення

Як знайти спільний знаменник шляхом розкладання на множники

Як множити дроби між собою

Як множити дроби шляхом перехресного скорочення

Як ділити дроби

Що таке відсоток?

Як виконувати розрахунки з відсотками?

Як знайти відносну відсоткову зміну

Як розрахувати коефіцієнт зростання

Як використовувати коефіцієнт зростання в розрахунках

Яку функцію виконують відсоткові пункти?

Перетворення відсотків на дроби та десяткові числа

Перетворення дробів і десяткових чисел на відсотки

Як перетворювати десяткові числа на дроби й навпаки

Перетворення дробів, десяткових чисел і відсотків

Які є одиниці вимірювання метричної системи?

Які є метричні одиниці вимірювання довжини?

Які є метричні одиниці вимірювання площі?

Які є метричні одиниці вимірювання об'єму?

Які є метричні одиниці вимірювання ваги?

Префікси міжнародної системи одиниць SI

Як визначити об'ємну густину (метрична система)

Що таке температура та градуси Цельсія?

Розрахунки з одиницями метричної системи

Вибір правильних одиниць метричної системи

Які є одиниці вимірювання англійської системи мір?

Які є англійські одиниці вимірювання довжини?

Які є англійські одиниці вимірювання площі?

Які є англійські одиниці вимірювання об'єму?

Які є англійські одиниці вимірювання ваги?

Як визначити об'ємну густину (англійська система)

Що таке температура та градуси Фаренгейта?

Розрахунки з одиницями англійської системи мір

Як перетворювати англійські одиниці вимірювання на метричні?

Як перетворювати метричні одиниці вимірювання на англійські?

Цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Що таке значущі цифри?

Що таке невизначеність вимірювання?

Що таке відносна невизначеність вимірювання?

Що таке цифровий і аналоговий годинник?

Знайомство з годинником (секунди)

Знайомство з годинником (хвилини)

Знайомство з годинником (години)

Знайомство з годинником (цілі години та пів години)

Знайомство з годинником (чверть години)

Знайомство з годинником (за десять і десять на годину)

Знайомство з годинником (за п'ять і п'ять на годину)

Усні обчислення з часом

Як читати масштаб креслень

Що таке співвідношення між двома числами?

Що таке співвідношення компонентів суміші?

Як знайти відстань, якщо дано швидкість і час

Що таке графік швидкості?

Монети долара США

Банкноти долара США

Як рахувати гроші?

Як використовувати математику під час купівлі

У чому суть обміну валют

Як ефективно управляти особистими фінансами?

Які бувають типи доходу?

Що таке зарплата на основі комісійної винагороди?

Що таке податок і база оподаткування?

Що таке премії?

Як обчислюється податок на додану вартість

Що таке процентні ставки за кредитною карткою

Індекс споживчих цін і купівельна спроможність долара

Що таке індекс цін та індекс споживчих цін?

Що таке реальна заробітна плата в економіці?

Що таке кредит?

Що таке амортизаційний кредит?

Що таке іпотечний кредит із фіксованою ставкою?

Як складати бюджет

Як вести бухгалтерський облік

Відсотки за певний період часу

Відсотки за кілька періодів

Як обчислювати складні відсотки за заощадженнями

Що таке виторг, витрати, вартість одиниці та прибуток?

Як ціна й попит впливають на виторг?

Маржинальний дохід, маржинальні витрати й маржинальний прибуток

Рівень виробництва з мінімальними витратами

Рівень виробництва з максимальною прибутковістю

Що таке вектор?

Що таке координати вектора?

Що таке радіус-вектор?

Як додавати вектори?

Множення вектора на скаляр

Як знайти вектор між двома точками

Що таке довжина вектора?

Знаходження відстані між двома точками за допомогою векторів

Як знайти паралельні вектори

Як знайти скалярний добуток двох векторів (2D)

Як знайти кут між двома векторами?

Що таке одиничний вектор?

Для чого потрібні базисні вектори?

Знаходження медіан трикутника за допомогою векторів

Як параметризувати пряму

Як розв'язувати векторні рівняння

Що таке вектор-функції?

Вектори в тривимірному просторі

Як знайти скалярний добуток двох векторів (3D)

ЩО таке векторний добуток?

Правило правої руки для визначення напрямку векторів

Як знайти площу паралелограма з векторами

Як обчислити площу трикутника з векторами

Обчислення об'єму призми та піраміди з векторами

Що таке параметризація?

Параметризація прямих у просторі

Параметризація площини

Як визначити кут між двома прямими

Як знайти кут між прямою та площиною?

Як знайти кут між двома площинами

Як знайти відстань від точки до прямої

Як знайти відстань між двома прямими

Як знайти відстань між точкою та площиною

Як знайти відстань між прямою та площиною

Як знайти відстань між двома площинами

Що таке рівняння сфери?

Як знайти площу поверхні сферичного сегмента

Перетин між площинами й осями координат

Як знайти перетин між прямою та площиною

Як знайти лінію перетину між двома площинами

Перетин дотичної площини зі сферою

Перетин площини та сфери