Білий логотип House of Math на різнобарвному квадраті
Кольоровий логотип House of Math
Увійти/Зареєструватися
значок Меню
Меню

Як можна спростити складні дроби

Тут ти навчишся дiлити комплекснi числа, записанi як в алгебраїчнiй, так i тригонометричнiй формах. Серед iншого, дiлення можна використовувати для знаходження обернених чисел до комплексних чисел.

Алгебраїчна форма

Дiлення комплексних чисел, записаних в алгебраїчнiй формi, ґрунтується на множеннi та спряженнi. Якщо ти маєш дрiб iз комплексними числами в чисельнику та знаменнику, потрiбно записати дрiб так, щоб уявна одиниця не стояла в знаменнику. Це можна зробити, розширивши дрiб з використанням спряженого числа до знаменника, щоб отримати знаменник, що складається тiльки з дiйсних чисел.

Формула

Дiлення комплексних чисел, записаних в алгебраїчнiй формi

Нехай z1 = a + bi та z2 = c + di≠0 — це комплекснi числа, тодi

z1 z2 = a + bi c + di, = (a + bi) (c − di) (c + di) (c − di), = (ac + bd) + (bc − ad)i c2 + d2 , = ac + bd c2 + d2 + bc − ad c2 + d2 i.

Як i для додавання, вiднiмання та множення множина комплексних чисел ℂ замкнена щодо операцiї дiлення. Це означає, що в разi дiлення двох комплексних чисел ми отримуємо нове комплексне число. Як i з дiйсними числами, неможливо подiлити на 0 — тому ми завжди повиннi бути впевненi, що в знаменнику дробу немає 0 в будь-якiй точцi.

Приклад 1

Обчисли z1 z2 з комплексними числами z1 = 2 + i та z2 = 3 − i

Щоб обчислити z1 z2, спочатку потрiбно знайти спряжене число до z2:

z2 = 3 + i.

Тепер можна спростити дрiб шляхом розширення, помноживши на z2 чисельник i знаменник:

z1 z2 = z1 ⋅z2 z2 ⋅z2, = (2 + i) (3 + i) (3 − i) (3 + i), = 6 + 2i + 3i + i2 9 + 3i − 3i − i2, = 5 + 5i 10 , = 1 2 + 1 2i.

Тригонометрична форма

Якщо записати комплекснi числа за допомогою показникової функцiї з комплексним показником, можна подiлити комплекснi числа, використовуючи правила пiднесення до степеня.

Формула

Дiлення комплексних чисел, записаних в тригонометричнiй формi

Нехай z1 = r1ei𝜃1 та z2 = r2ei𝜃2 — це комплекснi числа, тодi

z1 z2 = r1ei𝜃1 r2ei𝜃2 = r1 r2ei(𝜃1−𝜃2).

Щоб подiлити комплекснi числа, записанi в тригонометричнiй формi, треба подiлити норми та вiдняти аргументи. Це можна зобразити на комплекснiй площинi:

Геометричне зображення дiлення комплексних чисел.

Як i множення можна розглядати дiлення як комбiнацiю масштабування та обертання на комплекснiй площинi. На вiдмiну вiд множення, обертання вiдбувається за годинниковою стрiлкою. Це тому, що дiлення з числом z — це те саме, що й множення з iнверсiєю z−1.

Оберненi числа до комплексних чисел

Для всiх комплексних чисел z≠0 iснує обернене комплексне число, що позначається z−1. Обернене число z−1 має значення z ⋅ z−1 = 1. Щоб знайти z−1, треба спростити дрiб 1 z.

Теорiя

Оберненi числа до комплексних чисел

Для кожного комплексного числа z≠0 iснує обернене число z−1:

z−1 = 1 z = 1 ⋅z z ⋅z = z |z|2.

Щоб обчислити обернене число до комплексного числа z, треба подiлити спряжене число до z на квадрат норми z. Якщо ти не пам’ятаєш цю формулу, завжди можна знайти обернене число, розв’язавши z−1 = 1 z.

Приклад 2

Обчисли обернене число до комплексного числа z = 4 − 3i. Потiм перевiр, чи правильне обернене число ти знайшов/знайшла.

Щоб знайти обернене число до z, нам потрiбнi як спряжене число до z, так i норма z. Тут маємо спряжене число z = 4 + 3i i норму |z| = 5. Отже, обернене число:

z−1 = z |z|2 = 4 + 3i 25 = 4 25 + 3 25i.

Щоб перевiрити, чи ми знайшли правильне обернене число, потрiбно пересвiдчитися, що z−1 задовольняє рiвнiсть z ⋅ z−1 = 1:

z ⋅ z−1 = (4 − 3i) ( 4 25 + 3 25i) = 16 25 + 12 25i −12 25i − 9 25i2 = 16 25 + 9 25 = 1.

Добуток z на z−1 дорiвнює 1. Тож ми знайшли правильне обернене число до z.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як множити комплексні числа
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Що таке корені комплексного числа?
Повернутися