Доведення теореми Піфагора

Насправдi iснує понад 200 рiзних доведень теореми Пiфагора. Ось доведення, яке я вважаю найпростiшим. Це пряме доведення. Насолоджуйся!

Приклад 1

Допомiжний малюнок для доведення теореми Пiфагора

З малюнка бачимо, що площу великого квадрата можна описати двома способами. Або як

довжину великого квадрата помножити на ширину великого квадрата

(довжина = $a + b$ та ширина = $a + b$ ), або як

сума площ маленького квадрата та чотирьох прямокутних трикутникiв.

Оскiльки цi два пiдходи дають однакову вiдповiдь, а саме площу великого квадрата, можна скласти рiвняння. По один бiк рiвняння маємо «довжину, помножену на ширину великого квадрата», а по iнший бiк вiд знака рiвностi — «суму площ маленького квадрата та чотирьох прямокутних трикутникiв». Отже,

A_{великий квадрат} = A_{малий квадрат} + 4 \cdot A_{трикутник}

Щоб мати можливiсть вставити в рiвняння, потрiбно описати цi площi, використовуючи наведений вище малюнок:

\begin{array}{l} A_{великий квадрат} & = довжина \cdot ширина \\ = (a + b) (a + b) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2}, \\ A_{малий квадрат} & = довжина \cdot ширина \\ = c \cdot c \\ = c^{2}, \\ A_{трикутник} & = \frac{g \cdot h}{2} \\ = \frac{a \cdot b}{2} . \end{array}

Тепер ми пiдставляємо вирази в наведене вище рiвняння та отримуємо:

\begin{array}{l} a^{2} + 2 a b + b^{2} & = c^{2} + 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} \\ a^{2} + 2 a b + b^{2} & = c^{2} + 2 a b \\ a^{2} + b^{2} & = c^{2} \end{array}

Отже, квадрат гiпотенузи дорiвнює сумi квадратiв катетiв, що й треба було довести!

Q.E.D

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Що таке метод математичної індукції?

Повернутися