Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Що таке метод математичної iндукцiї?


Метод математичної iндукцiї — це метод доведення, застосовуючи який ми намагаємося вивести якесь загальне твердження з вужчого. Використовуючи метод математичної iндукцiї, починаємо з припущення, що щось справджується для певного значення. Потiм треба показати, що якщо це припущення справджується для певного значення, то воно має бути правильним й для наступного значення. Якщо це припущення справджується для довiльного значення, воно має правильним для всiх значень.

Ось три кроки, якi дуже корисно виконати, використовуючи метод математичної iндукцiї:

Правило

Доведення методом математичної iндукцiї

1.
Перевiр, чи твердження справджується для першого значення n.
2.
Припусти, що твердження справджується для n = k, так що
3.
Потiм потрiбно показати, що твердження справджується для n = k + 1, так що

Зверни увагу! Ключ до методу математичної iндукцiї полягає в тому, щоб пiдставити наше припущення з Пункт 2 в Пункт 3. Це є основним моментом у доведеннi методом математичної iндукцiї!

Приклад 1

Застосування iндукцiї до числового ряду

Доведи, що 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2

1.
Перевiрмо, чи це твердження справджується для першого значення n, пiдставивши його у вираз 2n 1: 1 = 12
2.
Припустiмо, що це твердження справджується для n = k, так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи n на k)
1 + 3 + 5 + + (2k 1) = k2 (1)

3.
Потрiбно показати, що це справджується для n = k + 1, так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи n на k + 1. Пам’ятай про круглi дужки!)

1 + + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1)2 (2)

1 + 3 + + (2k 1) + (2 (k + 1) 1) = (k + 1) 2 (3)

4.
Переходимо до розрахункової частини доведення. Почнемо з лiвої частини (3) й продовжимо з використанням припущення (1). Подивись уважно на те, що вiдбувається нижче! Нарештi ми отримаємо те, що знаходиться в правiй частинi рiвностi в (3).

Тепер треба використати припущення, щоб записати гарний вираз для перших членiв k:

= 1 + 3 + 5 + + (2k 1) Пiдставмо вираз iз (1) + (2 (k + 1) 1) = k2 + (2 (k + 1) 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2.

1 + 3 + 5 + + (2k 1) Пiдставмо вираз iз (1) + (2 (k + 1) 1) = k2 + (2 (k + 1) 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2, що й треба було довести.

Q.E.D

Приклад 2

Застосування iндукцiї до подiльностi

Доведи, що n2 n n дiлиться на 2.

Якщо число дiлиться на 2, його можна розкласти на множник 2. Iнакше кажучи, таке число можна записати як n2 n = 2t, де t – це цiле число.

1.
Перевiрмо, чи це твердження справджується для першого значення n, пiдставивши у вираз n2 n: 12 1 = 0 = 2 0
2.
Припустiмо, що це твердження справджується для n = k, так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи n на k)
k2 k = 2t (4)

3.
Потрiбно показати, що це справджується для n = k + 1, так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи n на k + 1. Пам’ятай про круглi дужки!)
(k + 1) 2 (k + 1) = 2u (5)

4.
Переходимо до розрахункової частини доведення. Почнемо з лiвої частини (5) й продовжимо пiдставляючи припущення (4). Подивись уважно на те, що вiдбувається нижче! Нарештi ми отримаємо те, що знаходиться в правiй частинi рiвностi в (5).

Тепер, використавши припущення, n = k + 1 дасть нам:

(k + 1) 2 (k + 1) = k2 + 2k + 1 k 1 Перекладемо члени мiсцями, щоб використати (4) = k2 k Використовуючи (4), отримаємо + 2k = 2u + 2k = 2 (u + k) = 2t, де t = u + k, що й треба було довести.

Q.E.D

Приклад 3

Застосування iндукцiї до похiдних

Нехай f (x) = e2x. Доведи, що f (n) = 2ne2x.

Тут f (n) означає, що функцiя f диференцiйована n разiв.

1.
Перевiрмо, чи це твердження справджується для першого значення n, оцiнивши вираз f (n) = 2ne2x: f (1) (x) = 2e2x = 21e2x
2.
Припустiмо, що це твердження справджується для n = k, так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи n на k).
f (k) (x) = 2ke2x (6)

3.
Потрiбно показати, що з цього витiкає, що твердження справджується для n = k + 1, так що (використовуючи вираз, даний в умовi задачi, тiльки замiнюючи n на k + 1. Пам’ятай про круглi дужки!)
f (k+1) (x) = 2k+1e2x (7)

4.
Переходимо до розрахункової частини доведення. Почнемо з лiвої частини (7) й продовжимо пiдставляючи припущення (6). Подивись уважно на те, що вiдбувається нижче! Нарештi ми отримаємо те, що знаходиться в правiй частинi рiвностi в (7).

Тепер потрiбно використати припущення, щоб записати f (k+1) (x) як (f (k) (x)): f (k+1) (x) = (f (k) (x)) Пiдставимо (6) = (2ke2x) = 2 2ke2x = 2k+1e2x, що й треба було довести.

Q.E.D

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Що таке доведення протиставленням?
Наступна стаття Біла стрілка, що вказує праворуч
Доведення теореми Піфагора