Що таке диференціальні рівняння першого порядку?

Диференцiальне рiвняння першого порядку — це рiвняння, в якому ми маємо одночасно функцiю $y$ та її похiдну $y^{'}$ . Воно називається рiвнянням «першого порядку», оскiльки похiдна найвищого порядку в нас є першою похiдною.

Як перевiрити, чи є функцiя розв’язком

Ми можемо перевiрити, чи є певна функцiя розв’язком диференцiального рiвняння. Пiдставляємо рiвняння та його похiдну в рiвняння i перевiряємо, чи отримаємо однаковий вираз по обидва боки рiвняння. Для цього потрiбно знайти першу похiдну функцiї, щоб пiдставити її в диференцiальне рiвняння.

Приклад 1

Переконайся, чи є $y_{0} = x \cdot e^{x}$ розв’язком диференцiального рiвняння $y^{'} - y = e^{x}$

Знаходимо похiдну $y_{0}$ :

y_{0}^{'} = {(x \cdot e^{x})}^{'} = e^{x} + x \cdot e^{x}

Тепер пiдставляємо вирази для $y$ та $y^{'}$ у диференцiальне рiвняння:

\begin{array}{l} L.S. & = y^{'} - y \\ = e^{x} + x \cdot e^{x} - x \cdot e^{x} \\ = e^{x} \\ = R.S. \end{array}

\begin{array}{l} L.S. = y^{'} - y = e^{x} + x \cdot e^{x} - x \cdot e^{x} = e^{x} = R.S. \end{array}

Оскiльки лiвий та правий боки рiвняння однаковi, ми переконалися, що

y_{0} = x \cdot e^{x}

є розв’язком!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Для чого використовуються диференціальні рівняння?

Наступна стаття

Як розв’язувати диференціальні рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами

Повернутися