Що таке рівняння прямої, яка проходить через задану точку?

Пряма визначається двома точками або однiєю точкою i кутовим коефiцiєнтом прямої. Iснує винахiдлива формула, за допомогою якої можна знайти формулу для прямої за однiєю точкою та кутовим коефiцiєнтом:

Формула

Рiвняння прямої, яка проходить через задану точку

Формула, яка визначає пряму з кутовим коефiцiєнтом $a$ , що проходить через точку $(x_{1}, y_{1})$ , має вигляд

y - y_{1} = a (x - x_{1}) .

Розв’яжи рiвняння щодо $y$ , i вираз матиме вигляд функцiї для прямої $y = a x + b$ .

Приклад 1

Знайди функцiю для прямої, що проходить через точку $(2, 5)$ , з кутовим коефiцiєнтом 3

Пiдстав числа у рiвняння прямої, що проходить через задану точку, i розв’яжи для $y$ : $\begin{array}{l} y - 5 & = 3 (x - 2) \\ y & = 3 x - 6 + 5 = 3 x - 1 \end{array}$

Приклад 2

Знайди функцiю для прямої, що проходить через точки $(- 3, 9)$ i $(3, - 9)$

Спершу знаходимо кутовий коефiцiєнт:

a = \frac{- 9 - 9}{3 - (- 3)} = - \frac{18}{6} = - 3 .

Потiм вибираємо одну з точок у завданнi та пiдставляємо її разом iз кутовим коефiцiєнтом у рiвняння прямої, що проходить через задану точку:

\begin{array}{l} y - (- 9) & = - 3 (x - 3) \\ y + 9 & = - 3 x + 9 \\ y & = - 3 x \end{array}

Оскiльки $b = 0$ , ми знаємо, що пряма проходить через початок координат. Функцiя для прямої має вигляд

y = - 3 x .

Якщо вiдома функцiя $f (x)$ , то можна використовувати рiвняння прямої, що проходить через задану точку, щоб знайти рiвняння дотичної прямої в точцi на графiку $f (x)$ . Це пояснюється тим, що кутовий коефiцiєнт дотичної дорiвнює значенню похiдної функцiї $f (x)$ в тiй самiй точцi.

Формула

Рiвняння довiльної дотичної

y - y_{1} = f^{'} (x_{1}) (x - x_{1}),

де $(x_{1}, y_{1})$ — це точка на дотичнiй (часто точка дотику) а $f^{'} (x_{1})$ — це кутовий коефiцiєнт точки. Коли використовуєш формулу, завжди розв’язуй рiвняння для $y$ , тобто перенеси $y$ по один бiк рiвняння.

Приклад 3

Дано функцiю $f (x) = x^{2} + 3 x - 2$ ; знайди рiвняння дотичної в точцi $x = 3$

Щоб заповнити пропуски в рiвняннi, потрiбно знайти значення $y_{1}$ i $f^{'} (x_{1})$ . Ми знаємо, що $x_{1} = 3$ , тому $y_{1} = f (3)$ , а $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (3)$ . Спочатку обчислимо $f^{'} (x)$ : $\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 2 x + 3 \\ f^{'} (x_{1}) & = f^{'} (3) = 2 (3) + 3 = 9 \\ y_{1} & = f (x_{1}) = f (3) = {(3)}^{2} + 3 (3) - 2 = 16 \end{array}$