Як аналізувати функцію косинуса

Поглянь на функцiю

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d.

Зверни увагу! sin x i cos x майже аналогiчнi, тому можемо пiдставити синус замiсть косинуса у функцiї, отримавши приблизно тi самi розрахунки, що й у прикладах нижче.

Як ми знаємо, графiк нормальної функцiї косинуса має форму хвилi, а отже, має декiлька максимумiв, мiнiмумiв та нулiв. Функцiя f(x) дуже схожа, але змiщена i розтягнута порiвняно з нормальною функцiєю косинуса cos x.

Тригонометрична функцiя з позначеними нулями, максимумами, мiнiмумами й точками перегину.

Iснують простi способи знаходження нулiв, максимумiв, мiнiмумiв i точок перегину функцiї косинуса. Розгляньмо їх нижче.

Правило

Нулi

Щоб знайти нулi cos x, задаємо x = π 2 + n π. Щоб знайти нулi для розширеної функцiї косинуса

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d,

потрiбно задати f(x) = 0 i знайти x.

Правило

Максимуми

Щоб знайти максимуми cos x, задаємо cos x рiвним 1. Це означає, що максимум має значення y, що дорiвнює 1, i значення x, задане виразом x = 0 + n 2π.

Щоб знайти максимуми розширеної функцiї косинуса

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d,

використовуємо таке:

  • Для A > 0 значення y максимуму дорiвнює A + d. Якщо A < 0, то значення y максимуму дорiвнює A + d.

  • Щоб знайти вiдповiднi значення x, розв’яжи рiвняння cos(cx + ϕ) = 1 для x, якщо A > 0, i cos(cx + ϕ) = 1, якщо A < 0.

Правило

Мiнiмуми

Щоб знайти мiнiмуми cos x, задаємо cos x рiвним 1. Це означає, що мiнiмум має значення y, що дорiвнює 1, i значення x, задане x = π + n 2π.

Щоб знайти мiнiмуми

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d,

використовуємо таке:

  • Якщо A > 0, значення y мiнiмуму дорiвнює A + d. Якщо A < 0, значення y мiнiмуму дорiвнює A + d.

  • Щоб знайти вiдповiднi значення x, розв’яжи рiвняння cos(cx + ϕ) = 1 для x, якщо A > 0, i cos(cx + ϕ) = 1, якщо A < 0.

Теорiя

Точки перегину

Для cos x точки перегину тi самi, що й для нулiв. Для

f(x) = A cos(cx + ϕ) + d

значення y точки перегину становить d.

Щоб знайти значення x, розв’язуємо cos(cx + ϕ) = 0.

Приклад 1

Дано функцiю

f(x) = 4 cos (πx + 2π 3 ) 2.

Знайди нулi, максимуми, мiнiмуми й точки перегину f.

Нулi

Задай f(x) = 0 i розв’яжи для x:

4 cos (πx + 2π 3 ) 2 = 0 cos (πx + 2π 3 ) = 1 2

Базове тригонометричне рiвняння має розв’язки

πx1 + 2π 3 = π 3 + n 2π, πx2 + 2π 3 = π 3 + n 2π.

Розв’язуємо рiвняння для x i отримуємо

πx1 = π 3 + n 2π x1 = 1 3 + 2n πx2 = π + n 2π x2 = 1 + 2n

Отже, нулi такi:

, (1, 0), (1 3, 0) , (1, 0), (5 3, 0) ,

Максимуми

Оскiльки 4 > 0, координата y максимуму дорiвнює

4 2 = 2.

Знаходимо координату x, розв’язавши рiвняння

cos (πx + 2π 3 ) = 1 πx + 2π 3 = 0 + n 2π πx = 0 2π 3 + n 2π πx = 2π 3 + n 2π x = 2 3 + 2n

Отже, максимуми такi:

, (2 3, 2) , (4 3, 2) , (10 3 , 2) , (16 3 , 2) ,

Зверни увагу! Оскiльки 0 i 0 — це те саме число, розв’язуємо лише одне зi значень, у цьому випадку 0. Отже, отримуємо одне рiвняння, а не два, як це зазвичай вiдбувається, коли ми розв’язуємо тригонометричнi рiвняння з косинусом.

Мiнiмуми

Оскiльки 4 > 0, координата y мiнiмуму дорiвнює

4 2 = 6.

Щоб знайти координати x, розв’язуємо рiвняння

cos (πx + 2π 3 ) = 1 πx + 2π 3 = π + n 2π πx = π 3 + n 2π x = 1 3 + 2n

Отже, мiнiмуми такi:

, (1 3,6) , (5 3,6) , (11 3 ,6) , (17 3 ,6) ,

, (1 3,6) , (5 3,6) , (11 3 ,6) , (17 3 ,6) ,

Зверни увагу! π i π дають однаковий розв’язок рiвняння, тож ми розв’язуємо лише одне зi значень, у цьому випадку π. Отже, отримуємо одне рiвняння, а не два, як це зазвичай вiдбувається, коли ми розв’язуємо тригонометричнi рiвняння з косинусом.

Точки перегину

Знаходимо значення y точок перегину, зчитавши значення d = 2. Потiм знаходимо значення x, розв’язавши рiвняння cos (πx + 2π 3 ) = 0.

Базове рiвняння має розв’язки

πx1 + 2π 3 = π 2 + n 2π, πx2 + 2π 3 = π 2 + n 2π.

Розв’язуємо рiвняння для x i отримуємо:

πx1 = 2π 3 + π 2 + n 2π = π 6 + n 2π x1 = 1 6 + 2n πx2 = 2π 3 π 2 + n 2π = 7π 6 + n 2π x2 = 7 6 + 2n

Отже, точки перегину такi:

, (1 6,2) , (5 6,2) , (11 6 ,2) , (17 6 ,2) ,

, (1 6,2) , (5 6,2) , (11 6 ,2) , (17 6 ,2) ,

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!