Як аналізувати степеневі функції

Степеневi функцiї — це особливий випадок полiномiальної функцiї, оскiльки степенева функцiя має лише один доданок: нормований многочлен у формi $a x^{n}$ . Степеневi функцiї аналiзують так само, як i звичайнi полiномiальнi функцiї. Метод такий:

Правило

Аналiз степеневих функцiй

1.: Знайди нулi функцiї.
2.: Знайди стацiонарнi точки.
3.: Знайди точки перегину.

Приклад 1

Проаналiзуй функцiю $f (x) = 5 x^{4}$

1.

Спочатку знаходимо нулi, задавши

f (x) = 0

. Отримаємо:

\begin{array}{l} 5 x^{4} & = 0 | : 5 \\ x^{4} & = 0 \\ \sqrt[4]{x^{4}} & = \sqrt[4]{0} \\ x & = 0 \end{array}

Отже, маємо нуль у точцi $(0, 0)$ .

2.

Потiм знаходимо максимуми та мiнiмуми, задавши

f^{'} (x) = 0

. Спочатку диференцiюємо функцiю:

f^{'} (x) = 20 x^{3} .

Потiм задаємо вираз рiвним 0 i знаходимо максимуми та мiнiмуми:

\begin{array}{l} 20 x^{3} & = 0 \\ x & = 0 \end{array}

Щоб визначити, максимум це чи мiнiмум, можна вибрати два значення: одне лiворуч вiд $x = 0$ i одне праворуч вiд $x = 0$ . Пiдставляємо їх у диференцiйовану функцiю $f^{'} (x)$ та iнтерпретуємо знак. Вибираємо числа, з якими зручно працювати, наприклад $x = - 1$ i $x = 1$ : $\begin{array}{l} f^{'} (- 1) & = 20 {(- 1)}^{3} \\ = - 20 \\ < 0 \Rightarrow графiк спадає \\ f^{'} (1) & = 20 {(1)}^{3} \\ = 20 \\ < 0 \Rightarrow графiк зростає \end{array}$