Як обчислити кривину функції

Кривина графiка

Мiж другою похiдною та кривиною графiка iснує такий зв’язок.

• $f^{″}(x)>0\iff \text{опукла, }\cup$

• $f^{″}(x)<0\iff \text{угнута, }\cap$

• $f^{″}(x)=0\iff$ точка перегину (ТП), у якiй графiк зростає або спадає найшвидше.

Зверни увагу!

Якщо друга похiдна функцiї додатна, графiк додатний (нагадує усмiхнене обличчя). Якщо друга похiдна функцiї вiд’ємна, графiк вiд’ємний (нагадує сумне обличчя).

Зв’язок мiж $f(x)$, $f^{\prime }(x)$ i $f^{″}(x)$

Маємо суцiльну лiнiю на дiаграмi знакiв, якщо:

1.

$f^{″}(x)>0$ i якщо $f^{″}(x)$ знаходиться вище осi $x$ $\iff f(x)$ є опуклою.

2.

$f^{\prime }(x)>0$ i якщо $f^{\prime }(x)$ знаходиться вище осi $x$ $\iff f(x)$ зростає.

3.

$f(x)>0$ i якщо $f(x)$ знаходиться вище осi $x$ $\iff f(x)$ є додатною.

Маємо пунктирну лiнiю, якщо:

1.

$f^{″}(x)<0$ i якщо $f^{″}(x)$ знаходиться нижче осi $x$ $\iff f(x)$ є угнутою.

2.

$f^{\prime }(x)<0$ i якщо $f^{\prime }(x)$ знаходиться нижче осi $x$ $\iff f(x)$ спадає.

3.

$f(x)<0$ i якщо $f(x)$ знаходиться нижче осi $x$ $\iff f(x)$ є вiд’ємною.