Як використовувати тіла обертання для знаходження об’ємів

Рiг Гавриїла

Фiгура, яку ти бачиш вище, називається «рогом Гавриїла». Вона вiдома тим, що має скiнченний об’єм за нескiнченної площi поверхнi. Звучить круто! Якщо розрiзати її вертикально впоперек, отримаємо дуже тонкi кiльця. Якщо iнтегрувати всi цi кiльця, отримаємо об’єм. Розрахунок об’єму «рогу Гавриїла» описано далi (Приклад 1).

Тiло обертання — це спосiб знайти об’єм тривимiрних фiгур за допомогою двовимiрних фiгур. Тiло обертання можна розглядати як сукупнiсть дуже тонких скибочок (дискiв). Цi диски можна розлядати як двовимiрнi, але якщо скласти їх разом, вони утворять тривимiрне тiло. Можна також уявити їх як тонкi скибочки хлiба, що разом складаються у хлiбину. Об’єм визначають як

V = \int_{a}^{b} A (x) d x,

де $A (x)$ — це площа скибочки. На рисунку видно, що тонкi скибочки мають круглу форму. Радiус $r$ тiла обертання визначається як $r = f (x)$ . Це означає, що площа кожної скибочки визначається як

A (x) = π r^{2} = π {(f (x))}^{2} .

На останньому етапi загальний об’єм визначається так:

Формула

Об’єм тiла обертання

V = \int_{a}^{b} π {(f (x))}^{2} d x

Приклад 1

Знайди об’єм тiла обертання навколо осi $x$ функцiї $f (x) = \frac{1}{x}$ , де $x$ змiнюється вiд 1 до 10

Пiдстав вiдомi значення у формулу об’єму та обчисли:

\begin{array}{l} V & = \int_{1}^{10} π {(\frac{1}{x})}^{2} d x \\ = π \int_{1}^{10} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = π \int_{1}^{10} x^{- 2} d x \\ = - π x^{- 1} |_{1}^{10} \\ = - π \cdot 1 0^{- 1} - (- π \cdot 1^{- 1}) \\ = - \frac{π}{10} + π \\ = \frac{9 π}{10} \end{array}

Об’єм становить $\frac{9 π}{10}$ .

Приклад 2

Знайди об’єм тiла обертання навколо осi $x$ для функцiї $f (x) = \cos x$ , де $x$ змiнюється вiд 0 до $π$

Приклад об’єму тiла обертання

Коли ми пiдставляємо функцiю у формулу, то отримуємо $\cos^{2} x$ , тому спочатку потрiбно знайти невизначений iнтеграл. Пiсля цього можна пiдставити границi. Виконуємо iнтегрування:

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x \\ = π \int \cos^{2} x d x \\ \overset{*}{=} π (\sin x \cos x + \int \sin^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + \int 1 - \cos^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + x - \int \cos^{2} x d x) \\ = π \sin x \cos x + π x - π \int \cos^{2} x d x \end{array}

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x & = π \int \cos^{2} x d x \\ \overset{*}{=} π (\sin x \cos x + \int \sin^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + \int 1 - \cos^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + x - \int \cos^{2} x d x) \\ = π \sin x \cos x + π x - π \int \cos^{2} x d x \end{array}

\begin{aligned} u & = \cos x & v^{'} & = \cos x \\ u^{'} & = - \sin x & v & = \sin x \end{aligned}

Отримуємо рiвняння (див. нижче), яке потрiбно розв’язати для $\int π \cos^{2} x d x$ :

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x \\ - π \int \cos^{2} x d x \\ 2 \cdot \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x | : 2 \\ \int π \cos^{2} x d x & = \frac{π}{2} \sin x \cos x + \frac{π x}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x - π \int \cos^{2} x d x \\ 2 \cdot \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x | : 2 \\ \int π \cos^{2} x d x & = \frac{π}{2} \sin x \cos x + \frac{π x}{2} \end{array}

Тепер пiдставляємо границi:

\begin{array}{l} V & = \int_{0}^{π} π \cos^{2} x d x \\ = \frac{π}{2} \sin x \cos x + \frac{π x}{2} |_{0}^{π} \\ = \frac{π}{2} \sin π \cos π + \frac{π^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \sin 0 \cos 0 + \frac{0}{2}) \\ = \frac{π^{2}}{2} \end{array}

Об’єм тiла обертання становить $\frac{π^{2}}{2}$ .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування

Повернутися