Кольоровий логотип House of Math
Увійти

Як використовувати тiла обертання для знаходження об’ємiв


Рiг Гавриїла

Фiгура, яку ти бачиш вище, називається «рогом Гавриїла». Вона вiдома тим, що має скiнченний об’єм за нескiнченної площi поверхнi. Звучить круто! Якщо розрiзати її вертикально впоперек, отримаємо дуже тонкi кiльця. Якщо iнтегрувати всi цi кiльця, отримаємо об’єм. Розрахунок об’єму «рогу Гавриїла» описано далi (Приклад 1).

Тiло обертання — це спосiб знайти об’єм тривимiрних фiгур за допомогою двовимiрних фiгур. Тiло обертання можна розглядати як сукупнiсть дуже тонких скибочок (дискiв). Цi диски можна розлядати як двовимiрнi, але якщо скласти їх разом, вони утворять тривимiрне тiло. Можна також уявити їх як тонкi скибочки хлiба, що разом складаються у хлiбину. Об’єм визначають як

V =abA(x)dx,

де A(x) — це площа скибочки. На рисунку видно, що тонкi скибочки мають круглу форму. Радiус r тiла обертання визначається як r = f(x). Це означає, що площа кожної скибочки визначається як

A(x) = πr2 = π(f(x))2.

На останньому етапi загальний об’єм визначається так:

Формула

Об’єм тiла обертання

V =abπ(f(x))2dx

Приклад 1

Знайди об’єм тiла обертання навколо осi x функцiї f(x) = 1 x, де x змiнюється вiд 1 до 10

Пiдстав вiдомi значення у формулу об’єму та обчисли: V =110π (1 x)2dx = π110 1 x2dx = π110x2dx = πx1| 110 = π 101 (π 11) = π 10 + π = 9π 10

Об’єм становить 9π 10.

Приклад 2

Знайди об’єм тiла обертання навколо осi x для функцiї f(x) = cos x, де x змiнюється вiд 0 до π

Приклад об’єму тiла обертання

Коли ми пiдставляємо функцiю у формулу, то отримуємо cos 2x, тому спочатку потрiбно знайти невизначений iнтеграл. Пiсля цього можна пiдставити границi. Виконуємо iнтегрування:

= π cos 2xdx = π cos 2xdx = π (sin x cos x + sin 2xdx) = π (sin x cos x + 1 cos 2xdx) = π (sin x cos x + x cos 2xdx) = π sin x cos x + πx π cos 2xdx

π cos 2xdx = π cos 2xdx = π (sin x cos x + sin 2xdx) = π (sin x cos x + 1 cos 2xdx) = π (sin x cos x + x cos 2xdx) = π sin x cos x + πx π cos 2xdx

*

u = cos x v = cos x u = sin xv = sin x

Отримуємо рiвняння (див. нижче), яке потрiбно розв’язати для π cos 2xdx:

π cos 2xdx = π sin x cos x + πx π cos 2xdx 2 π cos 2xdx = π sin x cos x + πx| : 2 π cos 2xdx = π 2 sin x cos x + πx 2

π cos 2xdx = π sin x cos x + πx π cos 2xdx 2 π cos 2xdx = π sin x cos x + πx| : 2 π cos 2xdx = π 2 sin x cos x + πx 2

Тепер пiдставляємо границi: V =0ππ cos 2xdx = π 2 sin x cos x + πx 2 |0π = π 2 sin π cos π + π2 2 (1 2 sin 0 cos 0 + 0 2) = π2 2

Об’єм тiла обертання становить π2 2 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!
Біла стрілка, що вказує ліворучПопередня стаття
Як знайти площу між двома графіками шляхом інтегрування