Omdreiningslegeme om x-aksen

Gabriels trompet, omdreiningslegemet til 1/x

Legemet du ser over kalles for «Gabriels trompet» og er kjent for å ha et endelig volum og samtidig uendelig overflate. Ganske kult! Dersom du deler den vertikalt kan du få syltynne ringer. Dersom du integrerer over disse ringene får du volumet. Utregningen for volumet til «Gabriels trompet» er i Eksempel 1.

Et omdreiningslegeme er en måte å regne ut volumet av tredimensjonale legemer ved hjelp av todimensjonale figurer. Omdreiningslegemet kan tenkes på som en samling av veldig tynne skiver. Disse skivene kan ansees som 2-dimensjonale, og de kan settes sammen til et 3-dimensjonalt legeme. Du kan også tenke på det som veldig tynne brødskiver som settes sammen og til slutt gir et helt brød. Volumet er definert som

V = \int_{a}^{b} A (x) d x,

der $A (x)$ er arealet av en skive. Du ser fra figuren at de tynne skivene er sirkelskiver. Radius $r$ av et omdreiningslegeme er gitt ved $r = f (x)$ . Dermed er arealet av hver av skivene gitt ved

A (x) = π r^{2} = π {(f (x))}^{2} .

Videre er det totale volumet er dermed gitt ved:

Formel

Volum av et omdreiningslegeme

V = \int_{a}^{b} π {(f (x))}^{2} d x

Eksempel 1

Finn volumet av omdreiningslegemet om $x$ -aksen til $f (x) = \frac{1}{x}$ fra 1 til 10

Sett inn i formelen for volumet, og regn ut:

\begin{array}{l} V & = \int_{1}^{10} π {(\frac{1}{x})}^{2} d x \\ = π \int_{1}^{10} \frac{1}{x^{2}} d x \\ = π \int_{1}^{10} x^{- 2} d x \\ = - π x^{- 1} |_{1}^{10} \\ = - π \cdot 1 0^{- 1} - (- π \cdot 1^{- 1}) \\ = - \frac{π}{10} + π \\ = \frac{9 π}{10} \end{array}

Dermed er volumet $\frac{9 π}{10}$ .

Eksempel 2

Finn volumet av omdreiningslegemet om $x$ -aksen til $f (x) = \cos x$ fra 0 til $π$

Omdreiningslegemet til cos(x) fra x=0 til x=pi

Siden du får $\cos^{2} x$ når du setter inn i formelen, må du først integrere det ubestemte integralet. Når dette er gjort kan du sette inn grensene. Her er integrasjonen:

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x \\ = π \int \cos^{2} x d x \\ \overset{*}{=} π (\sin x \cos x + \int \sin^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + \int 1 - \cos^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + x - \int \cos^{2} x d x) \\ = π \sin x \cos x + π x - π \int \cos^{2} x d x \end{array}

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x & = π \int \cos^{2} x d x \\ \overset{*}{=} π (\sin x \cos x + \int \sin^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + \int 1 - \cos^{2} x d x) \\ = π (\sin x \cos x + x - \int \cos^{2} x d x) \\ = π \sin x \cos x + π x - π \int \cos^{2} x d x \end{array}

\begin{aligned} u & = \cos x & v^{'} & = \cos x \\ u^{'} & = - \sin x & v & = \sin x \end{aligned}

Dette gir likningen under som du må løse for $\int π \cos^{2} x d x$ :

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x \\ - π \int \cos^{2} x d x \\ 2 \cdot \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x | : 2 \\ \int π \cos^{2} x d x & = \frac{π}{2} \sin x \cos x + \frac{π x}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x - π \int \cos^{2} x d x \\ 2 \cdot \int π \cos^{2} x d x & = π \sin x \cos x + π x | : 2 \\ \int π \cos^{2} x d x & = \frac{π}{2} \sin x \cos x + \frac{π x}{2} \end{array}

Du må nå sette inn grensene:

\begin{array}{l} V & = \int_{0}^{π} π \cos^{2} x d x \\ = \frac{π}{2} \sin x \cos x + \frac{π x}{2} |_{0}^{π} \\ = \frac{π}{2} \sin π \cos π + \frac{π^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \sin 0 \cos 0 + \frac{0}{2}) \\ = \frac{π^{2}}{2} \end{array}

Du har dermed funnet at volumet av omdreiningslegemet er $\frac{π^{2}}{2}$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Arealet mellom to grafer

Tilbake