Flislegging og tesselering

Tesselering er en metode som brukes i alle dimensjoner, men du skal kun se på tesselering i 2D, altså i planet.

Teori

Tesselering i planet

Tesselering i planet er flislegging ved bruk av regulære mangekanter.

Tesselering kan dermed sees på som et mønster som utfyller planet totalt, akkurat som fliser utfyller et gulv. Dette innebærer at mønsteret kan utvides i det uendelige i alle retninger, uten at det blir noen hull i gulvet. For at det ikke skal bli hull må kantvinklene som møtes bli $360$ ° tilsammen.

Ikke alle mangekanter kan brukes til tesselering. Av de regulære mangekantene er det bare trekanten, firkanten og sekskanten som kan settes sammen slik at vinkelsummen blir $360$ °. Derav er det kun disse figurene som kan brukes i tesselering.

Tesselering ved bruk av regulære sekskanter

Eksempel 1

Dersom du har fliser som er formet som regulære femkanter, kan du fylle planet?

Om du skal fylle planet med mangekanter, må summen av vinklene i alle punkter der mangekantene møtes, være akkurat $360$ °. Du må derfor regne ut kantvinkelen i en regulær femkant. Dette gjør du med formelen for kantvinkel, og du får

v = 180 ° - \frac{360 °}{5} = 180 ° - 72 ° = 108 ° .

Kantvinkelen i femkanten er altså $108$ °. Dersom du legger sammen tre femkanter, vil vinkelsummen være $324$ °, som er for lite. Om du legger sammen fire femkanter, vil vinkelsummen være $432$ °, som er for mye. Du kan dermed ikke bruke regulære femkanter til å fylle planet.

Eksempel 2

Dersom du har regulære trekanter og sekskanter, kan du sette dem sammen på noen måte for å fylle planet?

Du regner først ut kantvinkelen i en regulær trekant med formelen for kantvinkel. Du får

v = 180 ° - \frac{360 °}{3} = 180 ° - 120 ° = 60 ° .

Kantvinkelen i en regulær trekant er derfor $60$ °.

Så regner du ut kantvinkelen i en regulær sekskant med samme formel. Du får

v = 180 ° - \frac{360 °}{6} = 180 ° - 60 ° = 120 ° .

Kantvinkelen i en regulær sekskant er derfor $120$ °.

Dersom du legger sammen to trekanter og to sekskanter slik at de møtes i ett punkt, ser du at summen av vinklene i det punktet er

120 ° + 120 ° + 60 ° + 60 ° = 360 ° .

Du kan dermed bruke to regulære trekanter og to regulære sekskanter for å fylle planet.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Geometriske mønstre

Tilbake