House of Math-logo

Trigonometriske identiteter

Følgende identiteter brukes mye innenfor trigonometri, og du vil se at du får bruk for disse når du løser slike oppgaver.

Formel

Trigonometriske identiteter

1.
cos 2α + sin 2α = 1
2.
sin (α + π 2 ) = cos α
3.
cos (α + π 2 ) = sin α
4.
sin 2α = 2 sin α cos α
5.
cos 2α = cos 2α sin 2α = 2 cos 2α 1 = 1 2 sin 2α
cos 2α = cos 2α sin 2α = 2 cos 2α 1 = 1 2 sin 2α
6.
sin(α+β) = sin α cos β+ cos α sin β
7.
sin(αβ) = sin α cos β cos α sin β
8.
cos(α+β) = cos α cos β sin α sin β
9.
cos(αβ) = cos α cos β+ sin α sin β
10.
tan α = sin α cos α

Eksempel 1

Vis at cos (π 4 + v) = 2 2 (cos v sin v)

For å regne ut dette bruker du formelen

cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β.

Da blir utregningen: cos (π 4 + v) = cos π 4 cos v sin π 4 sin v = 2 2 cos v 2 2 sin v = 2 2 (cos v sin v).

Eksempel 2

Finn eksaktverdien til sin π 12

For å løse denne oppgaven skriver du at sin(α) = sin(π α) og bruker sammenhengen

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Da blir utregningen:

sin ( π 12) = sin (π π 12) = sin (11π 12 ) = sin (π 6 + 3π 4 ) = sin (π 6 ) cos (3π 4 ) + cos (π 6 ) sin (3π 4 ) = 1 2 (2 2 ) + 3 2 2 2 = 6 2 4

sin ( π 12) = sin (π π 12) = sin (11π 12 ) = sin (π 6 + 3π 4 ) = sin (π 6 ) cos (3π 4 ) + cos (π 6 ) sin (3π 4 ) = 1 2 (2 2 ) + 3 2 2 2 = 6 2 4

Eksempel 3

Gitt sin v = 3 2 , finn cos v

For å regne ut dette bruker du formelen

cos 2α + sin 2α = 1.

Da blir utregningen: cos 2v + sin 2v = 1 cos 2v = 1 sin 2v

Dermed er cos v = ±1 sin 2 v = ±1 (3 2 ) 2 = ±1 3 4 = ±1 4 = ±1 2

Eksempel 4

Gitt cos 2v + sin 2v = tan 2v, finn sin v

For å løse denne må du bruke flere av sammenhengene over for så å løse ut sin v:

2 cos 2v + sin 2v = tan 2v 1 sin 2v + sin 2v = sin 2v cos 2v 1 = sin 2v cos 2v| cos 2v cos 2v = sin 2v 1 sin 2v = sin 2v 1 = 2 sin 2v| : 2 1 2 = sin 2v

cos 2v + sin 2v = tan 2v 1 sin 2v + sin 2v = sin 2v cos 2v 1 = sin 2v cos 2v | cos 2v cos 2v = sin 2v 1 sin 2v = sin 2v 1 = 2 sin 2v | : 2 1 2 = sin 2v

Dermed er
sin v = ±1 2 = ± 1 2 = ±2 2 .

Eksempel 5

Vis at cos(2α) = cos 2α sin 2α

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg: cos(2α) = cos(α + α) = cos α cos α sin α sin α = cos 2α sin 2α

Q.E.D

Eksempel 6

Vis at sin(2α) = 2 sin α cos α

Når du skal vise slike sammenhenger så vil du lage en ekvivalens fra venstresiden av likheten til høyresiden av likheten ved hjelp av logiske steg: sin(2α) = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α sin α

Q.E.D

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Cosinussetningen
Neste oppslagPil som peker til høyre
Trigonometriske grunnlikninger