Kombinasjoner (uordnet utvalg uten tilbakelegging)

Overskriften forteller deg at rekkefølgen til elementene ikke har noen betydning og at du ikke kan trekke samme element flere ganger.

Teori

Kombinasjoner

Du har kombinasjoner når du skal trekke antall mulige utvalg av $r$ elementer fra en mengde på $n$ elementer.

(\binom{n}{r}) = n C r = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}

NB! Rekkefølgen har ikke betydning!

Eksempel 1

Du skal studere etter videregående og har bestemt deg for å begynne på et universitet i California. Universitetet har en studiekatalog med 1700 kurs, der kursene blir trukket ved loddtrekning. Du får fem kurs første semester.

1.: Hvor mange måter kan ditt første semester se ut på?
2.: Av fagene universitetet tilbyr har du funnet 25 favorittfag. Hva er sannsynligheten for at alle fem fagene du tar er fra denne gruppen?

1.

I dette tilfellet har ikke rekkefølgen noen betydning, slik at du har kombinasjoner og utregningen blir

\begin{array}{l} (\binom{1700}{5}) & = 1700 C 5 \\ = \frac{1700!}{5! \cdot (1700 - 5)!} \\ = 117 626 840 087 840 \end{array}

2.

Siden det er lik sannsynlighet for å få alle fagene kan du bruke uniform sannsynlighet. Dermed blir

antall gunstige = 25 C 5 = 51 530

Antall mulige fant du i Oppgave 1. Dermed blir sannsynligheten for at alle fagene dine er i favorittgruppen:

\begin{array}{l} P (alle er favoritter) & = \frac{51 530}{117 626 840 087 840} \\ = 4, 38 \cdot 1 0^{- 10} \end{array}

Det er dermed ikke så dumt at elevene velger selv fagene sine, og ikke får utdannelse som et resultat av loddtrekning!

Eksempel 2

I en klasse med 20 elever skal du velge fem. Det er 7 gutter og 13 jenter i klassen.

1.: Hvor mange utvalg har tre jenter og to gutter?
2.: Hva er sannsynligheten for at utvalget består av én jente og fire gutter?

Siden det er snakk om grupper og ikke spesifikke rekkefølger, så er dette et uordnet utvalg.

1.

I dette tilfellet er du ikke interessert i bestemte gutter og jenter, bare at det er tre jenter og to gutter. Dermed er du i et tilfelle hvor rekkefølgen ikke har betydning, det er snakk om kombinasjoner. Utregningen blir dermed

\begin{array}{l} (\binom{13}{3}) \cdot (\binom{7}{2}) & = 13 C 3 \cdot 7 C 2 \\ = \frac{13!}{3! \cdot (13 - 3)!} \cdot \frac{7!}{2! \cdot (7 - 2)!} \\ = 6006 \end{array}

2.

Siden det er like stor sannsynlighet for at en vilkårlig jente og en vilkårlig gutt blir valgt, kan du bruke uniform sannsynlighet. Da blir antall gunstige utfall:

\begin{array}{l} antall gunstige & = 13 C 1 \cdot 7 C 4 \\ = \frac{13!}{1! \cdot (13 - 1)!} \cdot \frac{7!}{4! \cdot (7 - 4)!} \\ = 13 \cdot 35 \\ = 455 \end{array}

Antall mulige grupper på fem blir

antall mulige = 20 C 5 = 15 504

Sannsynligheten blir dermed

\begin{array}{l} P (én jente og fire gutter) & = \frac{455}{15 504} \\ = 0, 029 \\ = 2, 9 % \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Permutasjoner (ordnet utvalg uten tilbakelegging)

Tilbake