Для чого використовуються суми Рімана?

Площу вiдомих геометричних фiгур легко знайти, використовуючи вiдомi формули. Якщо геометричнi фiгури стають бiльш громiздкими i їх не вдається розкласти на вiдомi геометричнi фiгури, потрiбен новий метод. Сума Рiмана — це спосiб апроксимацiї площi, яка обмежується графiком, вiссю $x$ i двома заданими значеннями $a$ i $b$ на осi $x$ . З метою апроксимацiї громiздкої областi можна розбити її на прямокутники, якi мають ширину $Δ x$ i висоту, що дорiвнює значенню функцiї, де лiва або права сторона прямокутника перетинається з графiком функцiї. У цей спосiб отримаємо область, яка мiстить сукупнiсть прямокутникiв, що охоплюють майже всю фактичну площу або охоплюють область, дещо бiльшу, нiж фактична площа. Також можна мати кiлька прямокутникiв бiльшого чи меншого розмiру, якщо так вони краще вписуються в площу.

Апроксимацiя областi графiка за допомогою суми Рiмана

Якщо допустити, щоб ширина $Δ x$ прямокутникiв мала тенденцiю до того, щоб стати нескiнченно малою, апроксимацiя наблизиться до фактичної площi областi. Саме цю суму нескiнченно малих прямокутникiв ми називаємо сумою Рiмана. Сума Рiмана дорiвнює iнтегралу функцiї.

З погляду математики описуємо її так:

Теорiя

Суми Рiмана

Припустiмо, ми вибрали $a$ i $b$ на осi $x$ , i цей iнтервал роздiлений на меншi частини:

a < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n - 1} < b

Вiдстань мiж $a$ i $x_{1}$ , $x_{1}$ i $x_{2}$ i так далi дорiвнює $Δ x$ . Тут $Δ x$ — це вузька ширина прямокутникiв. Нехай $c_{1}$ — це довiльна точка в iнтервалi $[a, x_{1})$ , за якої $c_{i}$ є довiльною точкою в iнтервалi $[x_{i - 1}, x_{i})$ . Тода сума Рiмана будь-якої функцiї $f (x)$ матиме такий вигляд:

\sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) \cdot Δ x

Якщо iснує границя суми Рiмана, коли $Δ x$ прямує до $0$ , то кажемо, що ця границя є iнтегралом Рiмана вiд $f (x)$ у iнтервалi $[a, b]$ :

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x & = \lim_{\begin{array}{c} n \to \infty \\ Δ x \to 0 \end{array}} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \cdot Δ x \\ = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x) \end{array}

\begin{array}{l} \int_{a}^{b} f (x) d x & = \lim_{\begin{array}{c} n \to \infty \\ Δ x \to 0 \end{array}} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \cdot Δ x \\ = F (b) - F (a), F^{'} (x) = f (x) \end{array}

Зверни увагу! Важливий спосiб застосування iнтеграла — розрахунок площi та об’єму. Крiм того, застосування iнтегралiв — це основний метод розв’язання диференцiальних рiвнянь. Отже, потрiбно опанувати цей метод, щоб опанувати диференцiальнi рiвняння!

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Наступна стаття

Які є важливі правила інтегрування?

Повернутися