House of Math-logo
Meny

Geometri

Meny
Hva er cosinussetningen?

Trekant med vinkler og sider

Cosinussetningen er den generelle formen av Pytagoras’ setning og kan brukes på alle trekanter. Du ser at dersom du setter A = 90°, så blir 2bc cos A = 0 og du blir sittende igjen med Pytagoras’ setning.

Formel

Cosinussetningen

Gitt at b og c er lengdene som utspenner vinkel A, da har du at

a2 = b2 + c2 2bc cos A (1) cos A = b2 + c2 a2 2bc (2)

Regel

Bruksområde

Du kan bruke cosinussetningen til

  • Å finne en side i trekanten dersom du kjenner to sider og en vinkel. Formel (1).

  • Å finne en vinkel dersom du kjenner alle de tre sidene. Formel (2).

Eksempel 1

Du har firkanten ABCD der AB = 12, AD = 9, A = 120°. Finn diagonalen BD.

Først tegner du en hjelpetegning for å se hvordan dette ser ut.

To trekanter og firkant i samme figur

Nå ser du at dette passer med cosinussetning (1). Sett inn tallene og finn BD.

BD2 = AB2 + AD2 2 AB AD cos 120° = 122 + 92 2 12 9 cos 120° = 144 + 81 216 (0,5) = 333 BD = 333 18,25.

BD 18,25.

Eksempel 2

Du har trekanten ABC der AB = 7, AC = 5 og BC = 10. Finn A.

Først tegner du en hjelpetegning for å se hvordan dette ser ut.

Trekant med sider 5, 7 og 10, og stump vinkel

Nå ser du at dette passer med cosinussetning (2). Sett inn tallene og finn A.

cos A = AB2 + AC2 BC2 2 AB AC = 72 + 52 102 2 7 5 = 49 + 25 100 70 = 26 70 A = cos 1 ( 13 35 ) 111,8°.

Vinkelen A 111,8°.