Hva er et direkte bevis?

Når du skal skape et bevis er det smart å lage uttrykk du kan jobbe med. I dette tilfellet vil det å lage uttrykk for $a$ og $b$ være viktig. Siden $a$ er et partall kan det skrives som $a=2n$, der $n$ er et heltall. Tallet $b$ er et oddetall og kan dermed skrives som $b=2m+1$, der $m$ er et heltall. Du kan nå sette inn for $a+b$ og dermed få

$$\begin{array}{llll}\hfill a+b& =2n+\left(2m+1\right)& \hfill & \\ \hfill & =2n+2m+1& \hfill & \\ \hfill & =2\left(n+m\right)+1& \hfill & \\ \hfill & =2k+1,& \hfill & \end{array}$$

der $k=n+m$ er et heltall og dermed er $a+b=2k+1$ et oddetall.

Først vet du at alle partall har en partallsfaktor dersom du faktoriserer tallet. Dette er sant siden alle partall kan deles på 2 ut ifra definisjonen av partall.

Så ser du at du kan faktorisere $p^2+p$ som $p\left(p+1\right)$. Da ser du at $p$ og $p+1$ er to tall som ligger etter hverandre på tallinjen (slik som 3 og 4, 4 og 5$\dots$). Du kan nå argumentere at uansett hva $p$ er, så må akkurat en av de to faktorene være et partall, siden annenhvert heltall på tallinjen er et partall.

Om $p=2k$ er et partall, så må $p+1=2k+1$ være et oddetall. Hvis nå $p=2k+1$ er et oddetall, så setter du dette innfor $p$ i oddetallsuttrykket $p+1$. Da må

der $l=k+1$, være et partall. Til slutt vet du at siden $p^2+p$ alltid har en faktor som er delelig på 2, så er den selv også delelig på 2. Matematisk vil beviset se ut som rett under, der argumentet er bygget med implikasjoner: