House of Math-logo

Hva er et matematisk bevis?

Det er et stort poeng i matematikken at du skal bevise alt du driver med. Et bevis er en rekke med implikasjoner eller ekvivalenser, der hele teksten er svaret. I et vanlig regnestykke setter du to streker under svaret for å vise at du er kommet til veis ende. Det blir svært tungvint siden svaret er hele teksten. I stedet for to streker under svaret avsluttes bevis ofte med forkortelsen Q.E.D. Dette er latinsk og står for «quod erat demonstrandum», som på norsk betyr «hvilket skulle bevises». Et annet symbol som også brukes for å vise at et bevis er avsluttet er «Halmos-symbolet». Det ser slik ut: eller

Det finnes mange ulike typer bevis. De du skal lære er: Direkte bevis, kontrapositivt bevis, induksjonsbevis og et bevis for Pytagoras’ setning.

Men først litt om beviser generelt.

Et bevis er en forklaring på hvorfor noe er sant. Det man prøver å bevise kalles konklusjonen i beviset. Her er et enkelt bevis:

  • Antakelse 1: Alle mennesker er dødelige.

  • Antakelse 2: Sokrates er et menneske.

  • Konklusjon: Sokrates er dødelig.

Alle bevis bygger på en eller flere antagelser. Beviset over har to antagelser: «Alle mennesker er dødelige» og «Sokrates er et menneske». Beviset prøver ikke å overbevise deg om at antagelsene er sanne – du får lov til å tro at Sokrates er en undercover sebra eller at mennesker kan bli udødelige om de ikke spiser karbohydrater. Men, dersom du går med på at antagelsene er sanne forklarer beviset deg hvorfor du også må gå med på at konklusjonen er sann.

Teori

Bevis i matematikken

Når du gjør et bevis, har du alltid lyst til å starte med en antagelse, og slutte med en ønsket konklusjon ved bruk av logiske steg. Et steg skal alltid følge fra det forrige – hvert steg skal være en implikasjon eller ekvivalens.

Eksempel 1

Bevis at hvis n er et partall, er n2 et partall

Antagelsen her er altså at du har et tall n som er et partall – altså som er 2 ganger et tall, eller sagt på en annen måte, at n = 2m for et heltall m. Da ser du at

n = 2m n2 = (2m)2 = 4m2 = 2 (2m2) = 2 k, der k = 2m2.

n = 2m n2 = (2m)2 = 4m2 = 2 (2m2) = 2 k, der k = 2m2.

n2 er også 2 ganger et tall (2 ganger k = 2m2), og dermed et partall. Dette var det du ville konkludere med.
Q.E.D

Eksempel 2

Bevis at blant tre etterfølgende heltall finnes det ett som er delelig med 3

Du vet at alle tallene i 3-gangen (3, 6, 9, 12,) er delelig med 3. Fra dette kan du slutte at hvert tredje etterfølgende tall blant heltallene er delelig med 3, og at det alltid ligger nøyaktig to tall i mellom disse som ikke er delelig med 3.

Det betyr at blant de tre etterfølgende heltallene må ett av dem være med i 3-gangen. Logikken går slik: Dersom ingen av de tre etterfølgende tallene var med i 3-gangen, så vil 3-gangen ha manglet et tall. Det kan jo ikke stemme, slik at ett av tre etterfølgende tallene må være delelig med 3.

Q.E.D

Her er en annen måte å bevise det samme på:

Eksempel 3

Bevis at blant tre etterfølgende heltall finnes det et som er delelig med 3

Du vet at etterfølgende heltall kan uttrykkes som dette: Du kaller et tilfeldig heltall for n. Da kan du kalle tallet som er én større for n + 1 og tallet som er én større enn det igjen for n + 2. De etterfølgende tallene blir dermed:

n,n + 1,n + 2

Når du nå prøver å dele n på 3 er det tre muligheter: Du kan få 0, 1 eller 2 i rest (rest = det som er til overs når en divisjon ikke går opp). Dermed har du følgende muligheter:

1.
Hvis du får 0 i rest betyr det at divisjonen gikk fint, så n er delelig på 3.
2.
Hvis du får 1 i rest betyr det at n 1 er delelig på 3, fordi n 1 + 1 = n. I dette tilfellet vil
(n 1) + 3 = n + 2

også være delelig på 3, siden hvert tredje tall er delelig med 3.

3.
Hvis du får 2 i rest betyr det at n 2 er delelig på 3, fordi n 2 + 2 = n. I dette tilfellet vil
(n 2) + 3 = n + 1

også være delelig på 3, siden hvert tredje tall er delelig med 3.

Du ser derfor at i hvert tilfelle er ett av tallene n, n + 1 og n + 2 delelig på 3. Derfor er det blant tre etterfølgende heltall alltid et tall som er delelig på 3.

Q.E.D

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Neste oppslagPil som peker til høyre
Hva er forskjellen på implikasjon og ekvivalens?