Hvordan bevise Pytagoras' setning

Det finnes mange bevis for Pytagoras’ setning. Her er beviset jeg mener er enklest. Kos deg!

Eksempel 1

Hjelpetegning for bevis for Pytagoras’ setning

Fra tegningen ser du at det finnes to måter å beskrive arealet av det store kvadratet. Enten som

lengde ganger bredde for det store kvadratet

(lengde = $a + b$ og bredde = $a + b$ ), eller som

summen av det lille kvadratet og de fire rettvinklede trekantene.

Siden disse to fremgangsmåtene gir det samme svaret, nemlig arealet av det store kvadratet, kan du lage en likning. Likningen vil ha en side av likhetstegnet som «lengde ganger bredde for det store kvadratet», og den andre siden av likhetstegnet som «summen av det lille kvadratet og de fire rettvinklede trekantene». Altså,

A_{Stort kvadrat} = A_{Lite kvadrat} + 4 \cdot A_{Trekant}

For å kunne sette inn i likningen trenger du å beskrive disse arealene ved hjelp av figuren over:

\begin{array}{l} A_{Stort kvadrat} & = lengde \cdot bredde \\ = (a + b) (a + b) \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2}, \\ A_{Lite kvadrat} & = lengde \cdot bredde \\ = c \cdot c \\ = c^{2}, \\ A_{Trekant} & = \frac{g \cdot h}{2} \\ = \frac{a \cdot b}{2} . \end{array}

Du setter nå uttrykkene inn i likningen over, og får:

\begin{array}{l} a^{2} + 2 a b + b^{2} & = c^{2} + 4 \cdot \frac{a \cdot b}{2} \\ a^{2} + 2 a b + b^{2} & = c^{2} + 2 a b \\ a^{2} + b^{2} & = c^{2} \end{array}

Og slik kan du bevise Pytagoras’ setning!

Q.E.D

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er et induksjonsbevis?

Tilbake