Krumning

Krumningen til en funksjon viser hvordan funksjonen svinger. Når en funksjon har et toppunkt krummer grafen nedover, og du kaller den konkav. Når en funksjon har et bunnpunkt krummer grafen oppover, og du kaller den konveks.

Du finner krumningen til grafen ved å se på fortegnslinjene til den andrederiverte $f^{″} (x)$ . Generelt har du at:

Regel

Krumning av grafen

Vi har følgende sammenheng mellom den dobbeltderiverte og krumning til en graf.

$f^{″} (x) > 0 \Leftrightarrow konveks, \cup$
$f^{″} (x) < 0 \Leftrightarrow konkav, \cap$
$f^{″} (x) = 0 \Leftrightarrow$ vendepunkt, grafen vokser/avtar raskest

Huskeregel

Hvis den dobbeltderiverte er positiv, så er grafen positiv (ser ut som et smil). Hvis den dobbeltderiverte er negativ, så er grafen negativ (ser ut som en sur munn).

En funksjon med vendepunktet markert.

Eksempel 1

Finn områdene der grafen til

f (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x

krummer

Du må først derivere funksjonen to ganger, slik som dette:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = 3 x^{2} + 2 x - 2, \\ f^{″} (x) & = 6 x + 2 . \end{array}

Ved å sette $f^{″} (x) = 0$ får du at $6 x + 2 = 0$ som gir $x = - \frac{1}{3}$ . Dette er $x$ -verdien til vendepunktet. Siden det er et vendepunkt så vet du at det er en krumning til venstre for vendepunktet og en krumning til høyre for vendepunktet. Det holder derfor at du setter inn en verdi i $f^{″} (x)$ og sjekker om den er positiv eller negativ. Velg smarte verdier, slik som $x = - 10$ og $x = 10$ . Du finner dermed at

\begin{array}{l} f^{″} (- 10) & = 6 (- 10) + 2 = - 58 \\ f^{″} (10) & = 6 (10) + 2 = 62 \end{array}

Siden $f^{″} (- 10) = - 58 < 0$ , så er grafen konkav på intervallet $⟨ \leftarrow, - \frac{1}{3} ⟩$ . Siden $f^{″} (10) = 62 > 0$ så er grafen konveks på intervallet $⟨ - \frac{1}{3}, \to ⟩$ . Det er lurt å huske på at $f^{″} (x)$ er den deriverte av $f^{'} (x)$ , $f^{″} (x)$ er den deriverte av den deriverte av $f (x)$ . Det betyr at $f^{″} (x)$ og $f^{'} (x)$ forholder seg til hverandre som funksjonene $f^{'} (x)$ og $f (x)$ forholder seg til hverandre.

Regel

Sammenhengen mellom $f (x)$ , $f^{'} (x)$ og $f^{″} (x)$

Du har en heltrukken linje i fortegnsskjemaet når:

1.: $f^{″} (x) > 0$ og når $f^{″} (x)$ ligger over $x$ -aksen $\Leftrightarrow f (x)$ er konveks.
2.: $f^{'} (x) > 0$ og når $f^{'} (x)$ ligger over $x$ -aksen $\Leftrightarrow f (x)$ stiger.
3.: $f (x) > 0$ og når $f (x)$ ligger over $x$ -aksen $\Leftrightarrow f (x)$ er positiv.

Du har en stiplet linje i fortegnsskjemaet når:

1.: $f^{″} (x) < 0$ og når $f^{″} (x)$ ligger under $x$ -aksen $\Leftrightarrow f (x)$ er konkav.
2.: $f^{'} (x) < 0$ og når $f^{'} (x)$ ligger under $x$ -aksen $\Leftrightarrow f (x)$ stiger.
3.: $f (x) < 0$ og når $f (x)$ ligger under $x$ -aksen $\Leftrightarrow f (x)$ er negativ.

Grafene til f(x), f’(x) og f”(x) med nullpunkter markert samt tilhørende fortegnslinjer.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Krumning av grafen

Huskeregel

Sammenhengen mellom f(x), f′(x) og f″ ⁡(x)

Sammenhengen mellom $f (x)$ , $f^{'} (x)$ og $f^{″} (x)$