Derivasjonsregler

Den gode nyheten er at du slipper å derivere alle uttrykk med definisjonen av den deriverte. Her følger de reglene du trenger for å kunne derivere de mest grunnleggende funksjonene.

Se nøye på eksemplene og sørg for at du skjønner hva som skjer.

Regel

Derivasjonsregler

\begin{array}{l} f (x) & = k & \Leftrightarrow & f^{'} (x) & = 0 \\ f (x) & = a x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a \\ f (x) & = x^{n} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = n x^{n - 1} \\ f (x) & = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (x) & = e^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = e^{x} \\ f (x) & = e^{k x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k e^{k x} \\ f (x) & = a^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a^{x} \ln a \\ f (x) & = \ln x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \ln (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \sin x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \cos x \\ f (x) & = \cos x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - \sin x \\ f (x) & = \sin (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k \cos (k x) \\ f (x) & = \cos (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - k \sin (k x) \\ f (x) & = \tan x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ = \tan^{2} x \\ f (x) & = \tan (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{k}{\cos^{2} (k x)} \\ = k + k \tan^{2} (k x) \end{array}

\begin{array}{l} f (x) & = k & \Leftrightarrow & f^{'} (x) & = 0 \\ f (x) & = a x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a \\ f (x) & = x^{n} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = n x^{n - 1} \\ f (x) & = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (x) & = e^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = e^{x} \\ f (x) & = e^{k x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k e^{k x} \\ f (x) & = a^{x} & \Rightarrow & f^{'} (x) & = a^{x} \ln a \\ f (x) & = \ln x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \ln (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{x} \\ f (x) & = \sin x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \cos x \\ f (x) & = \cos x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - \sin x \\ f (x) & = \sin (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = k \cos (k x) \\ f (x) & = \cos (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = - k \sin (k x) \\ f (x) & = \tan x & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{1}{\cos^{2} x} = \tan^{2} x \\ f (x) & = \tan (k x) & \Rightarrow & f^{'} (x) & = \frac{k}{\cos^{2} (k x)} = k + k \tan^{2} (k x) \end{array}

For funksjoner

f (x)

g (x)

og konstant

k

gjelder:

\begin{array}{l} {(f (x) \pm g (x))}^{'} & = f^{'} (x) \pm g^{'} (x) \\ {(k f (x))}^{'} & = k f^{'} (x) \end{array}

Under er noen eksempler for å hjelpe deg til å benytte disse reglene.

Eksempel 1

f (x) = 6 \Rightarrow f^{'} (x) = 0

Eksempel 2

f (x) = 12 x \Rightarrow f^{'} (x) = 12

Eksempel 3

f (x) = x^{3} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2}

Eksempel 4

f (x) = 7 x^{5} \Rightarrow f^{'} (x) = 35 x^{4}

Eksempel 5

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{9} \Rightarrow f^{'} (x) = 6 x^{2} - 54 x^{8}

Eksempel 6

f (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1} \Rightarrow f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

Eksempel 7

f (x) = e^{4 x} \Rightarrow f^{'} (x) = 4 e^{4 x}

Eksempel 8

f (x) = 3^{x} \Rightarrow f^{'} (x) = 3^{x} \ln 3

Eksempel 9

f (x) = \ln 4 x \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}

Eksempel 10

Jax Teller kjører langs en rett landevei i Italia. Strekningen $s$ han kjører er gitt ved funksjonen $s (t) = 50 t^{2}$ der $t$ er antall timer han har kjørt. Hva kan du si om farten hans?

Du finner farten til Jax etter tiden $t$ ved å derivere funksjonen $s (t)$ :

S^{'} (t) = 50 \cdot 2 t = 100 t

Ifølge modellen vil Jax øke farten med $100$ km/t for hver time han kjører.

Etter 30 minutter ( $0, 5$ timer) vil farten hans være

S^{'} (0, 5) = (100 \cdot 0, 5) km/t = 50 km/t

Etter 1 time til farten hans være

S^{'} (1) = (100 \cdot 1) km/t = 100 km/t

Etter $2, 5$ timer vil farten hans være

S^{'} (2, 5) = (100 \cdot 2, 5) km/t = 250 km/t

Når man kjører lenge langs en rett strekning blir man fartsblind, og merker ikke at man kjører for fort!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Deriverbarhet

Neste oppslag

Kjerneregelen for derivasjon

Tilbake