House of Math-logo

Grenseverdier for funksjoner

Grenseverdier er verdier som sier noe om hva som skjer når et uttrykk går mot en bestemt verdi. Denne verdien kan være , eller et hvilket som helst tall på tallinjen.

Når det er snakk om grenseverdier bruker du en bestemt notasjon:

lim xauttrykk

Du leser dette «grenseverdien av uttrykk når x går mot a». Her er « lim» en forkortelse for «limit», som på norsk betyr «grense». Matematikken liker å gjøre ting så enkelt og intuitivt som mulig.

Regel

Grenseverdier for polynomer

For polynomet

f(x) = anxn + a n1xn1 + + a 2x2 + a 1x + a0

er grenseverdien

lim xaf(x)

lik funksjonsverdien f(a) for alle a . Altså,

lim xaf(x) = f(a).

Eksempel 1

Finn grenseverdien til f(x) = x2 + 3x 4 når x 3

lim x3f(x) = lim x3x2 + 3x 4 = 32 + 3 3 4 = 9 + 9 4 = 14

La f(x) være et polynom av grad n. Altså

f(x) = anxn + a n1xn1 + + a 2x2 + a 1x + a0.

Om x går mot pluss eller minus uendelig, så vil etterhvert anxn bli det dominerende leddet i uttrykket og dermed bestemme om funksjonsverdien til f(x) er positiv eller negativ. Ser du på grenseverdien når x , så vil det dominerende leddet påvirke fortegnet til funksjonsverdien til f(x) ved at xn går mot pluss uendelig om n er et partall, og mot minus uendelig om n er et oddetall. Nedenfor er en oppsummering av de ulike tilfellene:

Regel

Grenseverdier for polynomer når x går mot pluss/minus uendelig

For an > 0 og n partall er

lim xf(x) = og lim xf(x) = .

For an < 0 og n partall er

lim xf(x) = og lim xf(x) = .

For an > 0 og n oddetall er

lim xf(x) = og lim xf(x) = .

For an < 0 og n oddetall er

lim xf(x) = og lim xf(x) = .

Et polynom vil uansett gå mot enten pluss eller minus uendelig når x ±.

Eksempel 2

Finn grenseverdien lim x 2x3 2x + 5

Her er f(x) et polynom av grad 3 og dermed av oddetallsgrad. I tillegg er koeffisienten til den høyeste x-potensen negativ. Grenseverdien er derfor

lim x 2x3 2x + 5 = .

Regel

Triks for grenseverdier til rasjonale funksjoner

  • Når både telleren og nevneren i en brøk går mot null, når x a, kan du faktorisere telleren og nevneren hver for seg for å finne grenseverdien til brøken lim xaf(x) g(x).

  • Når både telleren og nevneren i en brøk går mot uendelig, når x a, kan du dividere alle leddene i uttrykket med den høyeste potens av x som finnes i uttrykket.

NB! Når du har en enkel brøk 1 x og x så blir 1 x = 0. Alle brøker der x kun finnes i nevneren, og hvor x går mot uendelig, blir lik null. Dette er god stemning!

Regel

Noen viktige grenseverdier

Når a {0} gjelder følgende likheter:

lim xa x = 0 lim xa x = 0 lim x0a x =

NB! er ikke et tall! Slik at uansett hvor stort tall du velger på tallinjen så vil være uendelig mye større. Det gjør at forholdet mellom teller og nevner når x eller x alltid vil være uendelig stort.

Eksempel 3

Finn grenseverdien lim x1x2 x x 1

Du har da at

lim x1x2 x x 1 = lim x1x(x 1) x 1 = lim x1x = 1.

Eksempel 4

Finn grenseverdien lim x2x2 3x x2 + 2

Du har da at lim x2x2 3x x2 + 2 = lim x2x2 x2 3x x2 x2 x2 + 2 x2 = lim x2 3 x 1 + 2 x2 = 2 0 1 + 0 = 2

Eksempel 5

Finn grenseverdien lim x0x2 2x x

Du har da at lim x0x2 2x x = lim x0x(x 2) x = lim x0x(x 2) x = lim x0x 2 = 2

Regel

Grenseverdier for eksponentialfunksjoner

For 0 < a < 1 er

lim xax = 0og lim xax = .

For a > 1 er

lim xax = og lim xax = 0.

For a = 1 er

lim x1x = lim x1x = 1.

Eksempel 6

Se funksjonen f(x) = e0,5x. Vil funksjonsverdien mot null eller uendelig når x ?

Her må du gjøre om funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen for å finne vekstfaktoren, siden det ikke er opplagt om vekstfaktoren er større eller mindre enn 1:

e0,5x = (e0,5)x 1,648x.

Dermed ser vi at

lim xf(x) = .

NB! Du kunne ha sett at e0,5 > 1 ettersom ex er en strengt voksende funksjon og e0 = 1.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Neste oppslagPil som peker til høyre
Kontinuitet for funksjoner