Annengradsfunksjoner

En polynomfunksjon der den største eksponenten er 2, kalles en andregradsfunksjon. Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel og ser ut som et surt eller blidt smil. Nedenfor ser du ulike parabler.

Teori

Andregradsfunksjon

Andregradsfunksjoner er funksjonsuttrykk på formen

f (x) = a x^{2} + b x + c,

der $a, b$ og $c$ kalles koeffisienter og er konstanter. Leddet $a x^{2}$ kalles andregradsleddet, leddet $b x$ kalles førstegradsleddet og $c$ kalles for konstantleddet.

Under ser du bilde av grafen til mange ulike andregradsfunksjoner. Legg merke til at alle har enten ett topp- eller bunnpunkt.

Fire forskjellige andregradsfunksjoner plottet i samme koordinatsystem

Regel

Parabler, toppunkt og bunnpunkt

Når $a > 0 (positiv) \Rightarrow ⋃$ : Grafen er blid, og funksjonen har et bunnpunkt.
Når $a < 0 (negativ) \Rightarrow ⋂$ : Grafen er sur, og funksjonen har et toppunkt.

Eksempel 1

Du har andregradsfunksjonen

f (x) = 0, 5 x^{2} - x - 3 .

Avgjør om parabelen har et toppunkt eller et bunnpunkt.

Du ser at koeffisienten foran $x^{2}$ er et positivt tall ( $a > 0$ ). Dermed vil grafen smile og ha et bunnpunkt.

Andregradsfunksjonen f(x) = 0,5x^2 - x - 3 med tilhørende bunnpunkt markert

Eksempel 2

Du har andregradsfunksjonen

f (x) = - x^{2} - x + 12 .

Her er koeffisienten foran $x^{2}$ et negativt tall ( $a < 0$ ). Dermed vil grafen vende nedover og ha et toppunkt, slik som på figuren under.

Andregradsfunksjonen f(x) = -x^2 - x + 12 med tilhørende toppunkt markert

Det finnes flere metoder å bruke for å finne topp- og bunnpunkter. Du kan bruke den deriverte, fortegnslinjer og eller metoden som følger her:

Regel

Å finne toppunkt og bunnpunkt til en parabel

Når du har andregradsfunksjonen

f (x) = a x^{2} + b x + c,

kan du finne $x$ - og $y$ -verdiene på denne måten:

$x$ -verdien til topp- eller bunnpunktet:

x = - \frac{b}{2 a}

$y$ -verdien til topp- eller bunnpunktet:

y = f (- \frac{b}{2 a})

Eksempel 3

Avgjør om grafen til $f (x) = x^{2} - 4 x + 4$ har et topp- eller bunnpunkt, og finn dette punktet

Funksjonen $f (x)$ har $a = 1$ , $b = - 4$ og $c = 4$ . Siden $a = 1 > 0$ i uttrykket vet du at grafen smiler og du har et bunnpunkt.

Finn først $x$ -verdien og deretter $y$ -verdien til $f (x)$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \\ y & = f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \end{array}$

Bunnpunktet er dermed $(2, 0)$ . Ved inspeksjon av $f (x) = x^{2} - 4 x + 4$ kan du se at dette er et kvadrat og derfor kun har ett nullpunkt. I dette tilfellet er nullpunktet og bunnpunktet samme punkt.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Polynomfunksjoner

Tilbake