Hvordan bruker man definisjonen av den deriverte?

Den deriverte til en funksjon $f (x)$ når $x = x_{1}$ , er et tall som sier hvor mye grafen til funksjonen $f (x)$ stiger (eller avtar) når $x$ -koordinaten er $x_{1}$ . Den deriverte i $x = x_{1}$ skrives $f^{'} (x_{1})$ . Nedenfor er sammenhengen mellom den deriverte, momentan vekstfart og stigningstallet til tangenten til grafen til $f (x)$ .

Teori

Den deriverte, momentan vekstfart og stigningstallet til tangenten

\begin{array}{l} f^{'} (x_{1}) \\ = den momentane veksten i x_{1} \\ = stigningstallet til tangenten i (x_{1}, f (x_{1})) . \end{array}

\begin{array}{l} f^{'} (x_{1}) & = den momentane veksten i x_{1} \\ = stigningstallet til tangenten i (x_{1}, f (x_{1})) . \end{array}

Før du går løs på forklaringen under må du vite hva $Δ x$ og hva $x + Δ x$ betyr ( $Δ x$ leses som «delta- $x$ »).

$Δ x$ betyr «endring i $x$ ». Altså, avstanden mellom to $x$ -verdier.
$x + Δ x$ betyr en avstand $Δ x$ fra $x$ .

Forklaring av den deriverte

Se nøye på figurene nedenfor når du leser teksten.

En sekant som skjærer funksjonen f(x) i to punkter.

Figur 1: Grafen til funksjonen

f (x)

i blått plottet sammen med sekanten i rosa. Skjæringspunktene mellom f(x) og sekanten er i punktene som krysser f(x) i

(x, f (x))

(x + Δ x, f (x + Δ x))

Du har funksjonen

f (x)

(blå graf), og du har trukket en sekant (rosa linje) mellom punktene

(x, f (x))

(x + Δ x, f (x + Δ x))

. Som du har lært tidligere er stigningstallet til den rosa linjen den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen mellom disse punktene. I tillegg har du lært at dersom disse to punktene ligger nærme hverandre så vil den gjennomsnittlige vekstfarten nærme seg den momentane vekstfarten.

En sekant som skjærer funksjonen f(x) i to punkter som nærmer seg hverandre

Figur 2: Samme situasjon som i forrige figur, men nå er punktet

(x + Δ x, f (x + Δ x))

nærmere

(x, f (x))

, altså er

Δ x

mindre.

Dersom du reduserer $Δ x$ vil høyre skjæringspunkt $(x + Δ x, f (x + Δ x))$ bevege seg nærmere venstre skjæringspunkt $(x, f (x))$ . Da vil både avstanden mellom $x$ og $x + Δ x$ , og avstanden mellom $f (x)$ og $f (x + Δ x)$ , bli mindre. Sekanten går gradvis mot å ligge tangent til funksjonen.

En linje som ligger tangent til f(x) i punktet (x, f(x))

Figur 3: Samme situasjon som i de to foregående figurene men nå har du latt

Δ x

gå mot null, og den rosa linjen ligger nå tangent på

f (x)

Når avstanden mellom skjæringspunktene nærmer seg null så vil den rosa linjen ligge tangent på $f (x)$ i $(x, f (x))$ . Stigningstallet til tangenten er da lik den momentane vekstfarten i punktet $(x, f (x))$ . Du så på en tilfeldig $x$ -verdi, så dersom du nå formulerer det du gjorde matematisk får du en ny funksjon for stigningstallet til $f (x)$ for alle $x$ -verdier. Det er nettopp det den deriverte funksjonen $f^{'} (x)$ er.

Ved å bruke det du har lært om momentan vekstfart og grenseverdier får du følgende definisjon av den deriverte:

Teori

Definisjonen av den deriverte

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Eksempel 1

Gitt $f (x) = x^{2}$ . Slik deriverer du $f (x)$ ved hjelp av definisjonen:

\begin{array}{l} f^{'} (x) & = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(x + Δ x)}^{2} - x^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x) (x + Δ x) - x^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x Δ x + {(Δ x)}^{2} - x^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x (2 x + Δ x)}{Δ x} \\ = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δx (2 x + Δ x)}{Δx} \\ = \lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) \\ = 2 x + 0 \\ = 2 x \end{array}

Når du deriverer en funksjon, vil du som oftest ikke bruke definisjonen av den deriverte, men benytte deg av derivasjonsregler.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Deriverbarhet

Tilbake