House of Math-logo

Hva brukes Riemannsummer til?


Å finne arealet av kjente geometriske figurer lar seg lett gjøre ved bruk av kjente formler. Dersom områdene blir uoversiktlige og ikke kan deles inn i kjente geometriske figurer, trenger du en ny metode. En trappesum er en måte å tilnærme arealet mellom grafen, x-aksen og to gitte verdier a og bx-aksen.

En måte å tilnærme et kronglete areal er å dele det inn i rektangler som er av bredde Δx og har høyde hvor enten venstre side eller høyre side av rektangelet treffer funksjonsgrafen. På denne måten får du enten et areal av rektangler som nesten dekker hele området eller et areal av rektangler som er litt større en området. Du kan også ha noen rektangler som er større og noen som er mindre dersom det synes å fungere best.

Tilnærming av integralet til en funksjon ved hjelp av rektangler

Dersom du nå velger å gjøre slik at bredden Δx av rektanglene går mot å bli uendelig liten, vil tilnærmingen nærme seg det faktiske arealet av området. Det er denne summen av uendelig smale rektangler du kaller Riemannsummen, og denne Riemannsummen er lik integralet av funksjonen.

Matematisk sier du det slik:

Teori

Riemannsummer

Si at du velger a og bx-aksen og at dette intervallet deles inn i mindre deler som dette:

a < x1 < x2 < < xn1 < b

der avstanden mellom a og x1, x1 og x2 og så videre er lik Δx. Her er Δx den smale bredden i rektangelet. La c1 være et tilfeldig punkt i intervallet [a,x1, slik at ci er et tilfeldig punkt i intervallet [xi1,xi. Da blir Riemannsummen til en vilkårlig funksjon f(x) seende slik ut:

i=1nf(c i) Δx

Dersom grensen til Riemannsummen eksisterer når Δx går mot 0 sier du at denne grensen er Riemannintegralet til f(x) på intervallet [a,b].

abf(x)dx = lim n Δx0 i=1nf(x i) Δx = F(b) F(a),F(x) = f(x)

abf(x)dx = lim n Δx0 i=1nf(x i) Δx = F(b) F(a),F(x) = f(x)

NB! Et viktig bruksområde for integralet er beregninger av arealer og volumer. Integraler er også hovedmetoden du bruker for å løse differensiallikninger!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Neste oppslagPil som peker til høyre
Viktige integralformler