Nivålinjemetoden for lineær optimering

Nivålinjemetoden

1.

Sett opp ulikheter ut ifra teksten. Det er ofte naturlig å definere $x\ge 0$ og $y\ge 0$, siden det er snakk om et antall, og antallet må være større eller lik null, fordi det er vanskelig å produsere et negativt antall enheter.

2.

Løs de ulikhetene du har funnet for $y$, slik at de er på funksjonsform.

3.

Tegn alle linjene inn i et koordinatsystem. Siden $x\ge 0$ og $y\ge 0$, så trenger du kun førte kvadrant, altså positiv $x$-akse og positiv $y$-akse.

4.

Skraver det aktuelle området!

5.

Finn likningen for nivålinjene. Til dette bruker du $Z$-funksjonen som betegner det du skal optimere: Overskuddet, inntekten og så videre. $Z$-funksjonen finner du ved å summere «pris per enhet» ganget med «antall enheter» for alle råvarene du har. Da blir den seendes slik ut:

$$Z(x,y)=Ax+By.$$

der $A$ er prisen for produktet med $x$ solgte enheter og $B$ er prisen for produktet med $y$ solgte enheter.

$Z(x,y)$ kan du bytte med $K$ der den betegner et tall. Løs likningen for $y$ slik at du har en lineærfunksjon du kan forflytte:

$$\begin{array}{llll}\hfill Z(x,y)& =Ax+By& \hfill & \\ \hfill K& =Ax+By& \hfill & \\ \hfill K-Ax& =By& \hfill & \\ \hfill By& =K-Ax& \hfill & \\ \hfill y& =\frac{K}{B}-\frac{A}{B}x& \hfill & \\ \hfill y& =-\frac{A}{B}x+\frac{K}{B}& \hfill & \end{array}$$

Det eneste som er viktig her er stigningstallet $-\frac{A}{B}$. Konstantleddet endrer seg hele tiden siden du forskyver linjen utover i koordinatsystemet.

6.

Tegn inn nivålinjen du fant i punktet over, slik at den går gjennom det ytterste punktet i det skraverte området.

7.

Les av koordinatene til punktet.

8.

Regn ut overskuddet/inntekten ved å sette optimeringspunktet inn i $Z(x,y)$.