Innsettingsmetoden for lineær optimering

Punkt 1

Sett først opp begrensningene i teksten som ulikheter. La $x$ være antall herreskjorter og $y$ være antall dameskjørt som produseres. Mengden kasjmir skal fordeles på skjorter og dameskjørt. Mengden silke skal fordeles på skjorter og dameskjørt. Du får dermed disse ulikhetene:

• Antall skjorter du produserer kan være ingen skjorter eller flere. Da får du ulikheten:

  $$x\ge 0.$$

• Antall skjørt du produserer kan være ingen skjørt eller flere. Da får du ulikheten:

  $$y\ge 0.$$

• Nå lager du en ulikhet for kasjmir. Fra kasjmirrullen trenger du to lengder til en skjorte og én lengde til et skjørt. Rullen har 200 lengder. Da får du at

  $$2x+y\le 200.$$

• Så lager du en ulikhet for silke. Fra silkerullen trenger du én lengde til en skjorte og tre lengder til et skjørt. Rullen har 300 lengder. Da får du at

  $$x+3y\le 300.$$

Settet med ulikheter blir dermed:

Punkt 2

Nå løser du ulikhetene med hensyn på $y$: Først ulikheten (3):

Så ulikheten (4):

De to andre ulikhetene trenger du ikke gjøre noe med.

Punktene 3 og 4

Tegn nå disse ulikhetene inn i et koordinatsystem og skraver området der alle ulikhetene overlapper hverandre. Du vet at du kun trenger første kvadrant siden både $x$ og $y$ må være større enn eller lik 0. Da blir tegningen slik:

Punktene 5 og 6

Fra tegningen velger du det punktet som optimerer. Du vet at det er ett av skjæringspunktene mellom grafene, aksene eller graf og akse. Ved bruk av innsettingsmetoden for likningssett må du nå finne alle skjæringspunktene. Du ser av grafen at:

• Punkt $A$ er der $x+3y=300$ skjærer $y$-aksen. Her er $x=0$. Da får du

  $$\begin{array}{llll}\hfill 0+3y& =300& \hfill & \\ \hfill 3y& =300& \hfill & \\ \hfill y& =100& \hfill & \end{array}$$

  Dette gir $A=\left(0,100\right)$, 0 skjorter og 100 skjørt.

• Punkt $B$ er der $x+3y=300$ skjærer $2x+y=200$. Du må nå løse likningssettet. Du skrev tidligere ulikhetene (3) og (4) om slik at $y$ var på venstresiden. Om du hadde regnet med dem som likninger ville du fått samme svar. Du har derfor at

  $$\begin{array}{llll}\hfill y& =200-2x& \hfill & \\ \hfill y& =100-\frac{1}{3}x& \hfill & \end{array}$$

  Nå setter du uttrykkene for $y$-ene lik hverandre og får

  $$\begin{array}{llllll}\hfill 200-2x& =100-\frac{1}{3}x& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 200-100& =2x-\frac{1}{3}x& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 100& =2x-\frac{1}{3}x& \hfill & |\cdot 3& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 300& =6x-x& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 300& =5x& \hfill & |:5& \hfill & & \hfill & \\ \hfill 60& =x& \hfill & & \hfill & \end{array}$$

  Sett nå dette inn i $y=200-2x$, da dette er den letteste formelen. Du får da at

  $$y=200-2\cdot 60=200-120=80.$$

  Dette gir $B=\left(60,80\right)$, 60 skjorter og 80 skjørt.

• Punkt $C$ er der $2x+y=200$ skjærer $x$-aksen. Her er $y=0$. Da får du

  $$\begin{array}{llll}\hfill 2x+0& =200& \hfill & \\ \hfill 2x& =200|:2& \hfill & \\ \hfill x& =100& \hfill & \end{array}$$

  Dette gir $C=\left(100,0\right)$, 100 skjorter og 0 skjørt.

• Punkt $D=\left(0,0\right)$, 0 skjorter og 0 skjørt.

De ulike punktene over vise ulike produksjonskombinasjoner for skjorter og skjørt.

Punkt 7

Du regner ut inntektene til fabrikken ved å sette $x$-verdiene og $y$-verdiene du fant i forrige punkt inn i inntektsfunksjonen $Z(x,y)$ og ser hvilket punkt som gir størst svar.

Du vet at en herreskjorte koster $2950$ kr og at dameskjørtet koster $4500$ kr. Disse setter du inn for $A$ og $B$ i $Z(x,y)$-formelen $(Z(x,y)=Ax+By)$ og får

Du regner nå ut inntektene ved de ulike produksjonene:

Inntekten $Z$ for punktet $A=\left(0,100\right)$:

Inntekten $Z$ for punktet $B=\left(60,80\right)$:

Inntekten $Z$ for punktet $C=\left(100,0\right)$:

Inntekten $Z$ for punktet $D=\left(0,0\right)$:

Altså, fabrikken tjener $537000$ kr ved å produsere 60 herreskjorter og 80 dameskjørt. Dette er optimalt siden de andre produksjonsmengdene ville gitt lavere inntjening.