Bayes' setning og total sannsynlighet

Bayes’ setning forteller deg hvordan du kan regne ut $P (A ∣ B)$ ut ifra $P (B ∣ A)$ , $P (A)$ og $P (B)$ . Som du ser av eksempelet under er det utrolig nyttig i den virkelige verden. Bayes’ setning sier dette:

Formel

Bayes’ setning

P (A ∣ B) = \frac{P (A) \cdot P (B ∣ A)}{P (B)}

I mange oppgaver får du ikke oppgitt $P (B)$ . Du kan ofte regne den ut på følgende måte:

\begin{array}{l} P (B) & = P (A \cap B) + P (\overset{}{A} \cap B) \\ = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overset{}{A}) \cdot P (B ∣ \overset{}{A}) \end{array}

Eksempel 1

I USA bruker man løgndetektor i politiavhør for å forsøke å avgjøre om vitner eller mistenkte snakker sant. I en studie av løgndetektoren oppdaget man at:

Hvis en person lyver, er det $90 %$ sannsynlig at løgndetektoren vil avsløre dette.

Hvis en person snakker sant, er det $15 %$ sannsynlig at løgndetektoren tror at personen lyver.

Et vitne i en kriminalsak spennes fast til løgndetektor. Den påstår at vitnet lyver. Hva er sannsynligheten for at vitnet faktisk lyver hvis sannsynligheten for løgn er $25 %$ ?

Her må du bruke Bayes’ setning. Det er bare å holde tunga rett i munnen og ta en ting av gangen.

1.

Først skriver du ned det du vet ut ifra informasjonen over:

\begin{array}{l} L & = personen lyver, \\ S & = personen snakker sant, \\ A_{L} & = løgndetektoren indikerer løgn, \\ A_{S} & = løgndetektoren indikerer sannhet . \end{array}

2.

Du vet at

P (L) = 0, 25

. Da blir

P (S) = 1 - P (L) = 0, 75 .

3.

Videre vet du at

P (A_{L} ∣ L) = 0, 90

P (A_{L} ∣ S) = 0, 15

Du ønsker å finne den betingede sannsynligheten for at

P (L ∣ A_{L})

. Her bruker du Bayes’ setning, men først må du regne ut den totale sannsynligheten

P (A_{L})

. Du kan sette formelen for den rett inn i likningen, men det er mer oversiktlig og mindre sjanse for feil om du regner den ut helt før du setter den inn i Bayes:

\begin{array}{l} P (A_{L}) & = P (L) \cdot P (A_{L} ∣ L) + P (S) \cdot P (A_{L} ∣ S) \\ = 0, 25 \cdot 0, 90 + 0, 75 \cdot 0, 15 \\ = 0, 3375 . \end{array}

Nå setter du alle tallene inn i Bayes’ setning og finner svaret

\begin{array}{l} P (L ∣ A_{L}) & = \frac{P (L) \cdot P (A_{L} ∣ L)}{P (A_{L})} \\ = \frac{0, 25 \cdot 0, 90}{0, 3375} \\ = 0, 67 . \end{array}

Det er $67$ % sannsynlig at vitnet lyver. Dette var jo ikke akkurat overbevisende!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Valgtre

Tilbake