Produktsetningen

Du bruker produktsetningen når du har sammensatte forsøk. Det vil si at du først skal gjøre én ting og deretter noe annet. I disse tilfellene skal du multiplisere sannsynligheten for det første utfallet med sannsynligheten for det andre utfallet. Her er det viktig å ta hensyn til om hendelsene er avhengige eller uavhengige.

Regel

Produktsetningen for uavhengige hendelser

Når $A$ og $B$ er uavhengige hendelser har du at

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) .

Eksempel 1

Fødsler anses som uavhengige hendelser i matematikken. $P (gutt) = 0, 514$ og $P (jente) = 0, 486$ . En familie ønsker seg fire barn. Hva er sannsynligheten for å få først to gutter og så to jenter?

Her trenger du ikke å ta hensyn til rekkefølgen for hvert enkelt barn som blir født, kun at det skal være gutter først og jenter etterpå. Den sammensatte hendelsen blir dermed: Gutt, gutt, jente, jente som du kan skrive på denne måten $G G J J$ . Dermed blir utregningen

\begin{array}{l} P (G G J J) & = P (G) \cdot P (G) \cdot P (J) \cdot P (J) \\ = P {(G)}^{2} \cdot P {(J)}^{2} \\ = 0, 51 4^{2} \cdot 0, 48 6^{2} \\ = 0, 0624 . \end{array}

Sannsynligheten for å får to gutter og så to jenter er $6, 24$ %.

Regel

Produktsetningen for avhengige hendelser

Når $A$ og $B$ er avhengige hendelser har du at

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) .

Eksempel 2

En seigmannpose har 4 røde seigmenn, 5 grønne og 7 gule. Du skal ta tre seigmenn fra posen og spise dem (tilbakelegging her ville vært ganske så ekkelt). Hva er sannsynligheten for at du spiser tre gule seigmenn?

Totalt er det $4 + 5 + 7 = 16$ seigmenn. Etter du har spist én gul seigmann er det én færre av de gule seigmennene (nå 6) og antall seigmenn totalt er også redusert med én (nå 15). Slik blir antallet redusert med én for hver seigmann du spiser. Regningen blir derfor

\begin{array}{l} P (3 gule seigmenn) & = P (første er gul) \\ \cdot P (andre er gul) \\ \cdot P (tredje er gul) \\ = \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \\ = 0, 0625 . \end{array}

\begin{array}{l} P (3 gule seigmenn) & = P (første er gul) \cdot P (andre er gul) \\ \cdot P (tredje er gul) \\ = \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \\ = 0, 0625 . \end{array}

Sannsynligheten for at du spiser tre gule seigmenn på rad, uten å plage dine venner med å legge dem tilbake, er

6, 25

%. Denne utregningen krever altså at vi regner sannsynligheten for å plukke en gul seigmen tre ganger med tre forskjellige svar.

Uavhengighet forenkler altså utregningen.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Betinget sannsynlighet

Neste oppslag

Valgtre

Tilbake