Varians og standardavvik

Standardavviket er et spredningsmål som forteller hvor mye dataene varierer i forhold til gjennomsnittet. Dersom du skal finne standardavviket fra et datasett kan du bruke formelen for det empiriske (fra virkeligheten i motsetningen til fra teorien) standardavviket direkte.

Regel

Oppskrift for å regne ut standardavviket

1.: Regn ut gjennomsnittet av de $N$ verdiene i datamaterialet.
2.: Regn ut hvor mye hver av verdiene avviker fra gjennomsnittet.
3.: Kvadrer avvikene og finn summen av kvadratavvikene.
4.: Del på $N - 1$ .
5.: Ta kvadratroten av svaret.

s = \frac{\sqrt{{(x_{1} - \overset{}{x})}^{2} + \dots + {(x_{N} - \overset{}{x})}^{2}}}{\sqrt{N - 1}}

s = \frac{\sqrt{{(x_{1} - \overset{}{x})}^{2} + {(x_{2} - \overset{}{x})}^{2} + \dots + {(x_{N} - \overset{}{x})}^{2}}}{\sqrt{N - 1}}

Eksempel 1

Det russiske turnlandslaget med jentene Anoushka, Alexandra, Triana, Mirella, Jana og Fiona er venninner. Anoushka er $167 cm$ høy, Alexandra er $159 cm$ høy, Triana er $162 cm$ høy, Mirella er $155 cm$ høy, Jana er $160 cm$ høy og Fiona er $157 cm$ høy. Finn standardavviket for høydene til denne venninnegjengen.

Du finner først gjennomsnittshøyden $\overset{}{x}$ for jentene ved å legge sammen høydene til alle sammen og dele på antall jenter.

\frac{167 + 159 + 162 + 155 + 160 + 157}{6}

Dette gir en gjennomsnittshøyde på $160 cm$ . Du finner så hvor mye høyden til hver av jentene avviker fra gjennomsnittshøyden. Dette gjør du ved å ta høyden til hver jente minus gjennomsnittshøyden.

Deretter finner du kvadratet av hvert av avvikene. Dette gjøres ved å gange avviket med seg selv. Husk at minus multiplisert med minus blir pluss. Kvadratavviket blir dermed alltid et positivt tall! Resultatet ser du i tabellen under.


Navn	Høyde (cm)	Avvik	Kvadratavvik

Anoushka	167	7	49

Alexandra	159	$- 1$	1

Triana	162	2	4

Jana	160	0	0

Fiona	157	$- 3$	9

Mirella	155	$- 5$	25

Du finner til slutt standardavviket ved først å legge sammen alle kvadratavvikene og deretter dele på $N - 1$ observasjoner for så å ta kvadratroten av denne verdien.

\begin{array}{l} s & = \sqrt{\frac{49 + 1 + 4 + 0 + 9 + 25}{6 - 1}} \\ = \sqrt{\frac{88}{5}} \\ = \sqrt{17, 6} \\ \approx 4, 2 cm \end{array}

Standardavviket for høydene til de russiske turnerne er $4, 2$ cm.

Både varians og standardavvik er mål på hvor stort datasettet avviker fra forventningsverdien. Dette kalles spredningsmål og forteller deg noe om hvor mye dataene dine varierer. Varians og standardavvik er eksempler på spredningsmål.

Teori

Varians

Varians, $Var (X)$ , regnes ut slik:

Var (X) = \sum_{i = 1}^{m} {(x_{i} - μ)}^{2} \cdot P (X = x_{i})

Teori

Standardavvik

Standardavviket $σ$ er:

σ = SD (X) = \sqrt{Var (X)}

Eksempel 2

En terning kastes mange ganger og du skal finne variansen og standardavviket. Du vet allerede at forventet antall øyne er $3, 5$ . Du setter inn i formelen og får at:

\begin{array}{l} Var (X) \\ = \sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = {(1 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(2 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ + {(3 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(4 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ + {(5 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(6 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = 2, 92 \end{array}

\begin{array}{l} Var (X) & = \sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = {(1 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(2 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(3 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ + {(4 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(5 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} + {(6 - 3, 5)}^{2} \cdot \frac{1}{6} \\ = 2, 92 \end{array}

Variansen er dermed

2, 92

. Du finner standardavviket ved å ta kvadratroten av variansen:

SD (X) = \sqrt{2, 92} = 1, 71 .

Standardavviket er altså $1, 71$ .

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Kvartildifferanse og kvartilavvik

Tilbake